Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Vậy MinP=9 đạt được khi a=b=c
Ta có : \(P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}++\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
= \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với mọi \(x,y\) dương
\(\Rightarrow P\ge3+2+2+2=9\)
Vậy \(P_{min}=9\) khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta được :
\(a+b\ge2\sqrt[2]{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt[2]{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt[2]{ca}\)
Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(2\sqrt[2]{ab}\right)\left(2\sqrt[2]{bc}\right)\left(2\sqrt[2]{ca}\right)\)
\(< =>B\ge8\sqrt[2]{a^3b^3c^3}=8abc\)
Mặt khác theo giả thiết ta có : \(abc=8\)
Khi đó \(B\ge8.8=64\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\)
Vậy \(Min_B=64\)khi \(a=b=c=2\)
vì a,b,c dương => a+b khác 0
b+c khác 0
a+c khác 0
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(E=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\)
vậy E = \(\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\)
Tương tự ta có: \(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b;\) \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế thì được:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\).
Vậy \(Min\) \(E=\frac{3}{2}\). Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c.
Chứng minh rằng với mọi a,b,c≥0,ta có:
2(a2+b2+c2)+abc+8≥5(a+b+c)
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:
12(a2+b2+c2)+6abc+48−30(a+b+c)
=12(a2+b2+c2)+3(2abc+1)+45−5.2.3(a+b+c)
≥12(a2+b2+c2)+93√a2b2c2+45−5.((a+b+c)2+9)
\displaystyle{=7(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{9abc}{\sqrt[3]{abc}-10(ab+bc+ca)}
≥7(a2+b2+c2)+27a+b+c−10(ab+bc+ca)
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur,
9a+b+c≥4(ab+bc+ca)−(a+b+c)2=2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2)
Do đó
7(a2+b2+c2)+27a+b+c−10(ab+bc+ca)
≥7(a2+b2+c2)+6(ab+bc+ca)−3(a2+b2+c2)−10(ab+bc+ca)=4(a2+b2+c2−ab−bc−ca)≥0
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 4:Arqady
Cho a,b,c là các số không âm,trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:
ab3+c3+ba3+c3+ca3+b3≥185(a2+b2+c2)−ab−ac−bc
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
∑a(a+b+c)b3+c3≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
⇔∑a2b3+c3+ab2+c2−bc≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
i)∑a2b3+c3≥(a2+b2+c2)2∑a2(b3+c3)
ii)∑ab2+c2−bc≥(a+b+c)2∑a(b2+c2−bc)
Áp dụng 2 bất đẳng thức trên,ta có:
(a2+b2+c2)2∑a2(b3+c3)+(a+b+c)2∑a(b2+c2−bc)≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
Giả sử a+b+c=1 và đặt \displaystyle{ab + bc + ca = q,abc = r \Rightarrow r \ge \max \left{ 0,\dfrac {(4q - 1)(1 - q)}{6}\right }}.
Ta cần chứng minh
(1−2q)2q2−(q+2)r+1q−6r≥185−11q
Bất đẳng thức cuối dễ dàng chứng minh bằng cách xét 2 trường hợp:1≥4q và 4q≥1
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c và a=b,c=0.
Ta có BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x,y\ge0\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2+2+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
cái này dùng co si xong luôn nha bạn
\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(A=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
vì a;b;c dương nên \(\frac{a}{b};\frac{b}{a};\frac{b}{c};\frac{c}{b};\frac{a}{c};\frac{c}{a}>0\)
áp dụng bđt cô si ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{b}}=2\)
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{a}}=2\)
\(\Rightarrow A\ge8\)
dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\a=c\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)