Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
b/ \(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
c/ BĐT sai
\(9x^2y^2+y^2-6xy-2y+2\)
\(=\left(9x^2y^2-6xy+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\)
\(=\left(3xy-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3xy-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\frac{1}{3}\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\\y=1\end{matrix}\right.\)
A=4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y2z2
A=4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+y2z2
A=(4x2+4xy+4xz)(x2+xz+xy+yz) +y2z2
A=4(x2+yx+xz)(x2+yz+xz+yz)+y2z2
đặt x2+yz+z=a
=>A=4a(a+yz)+y2z2
A=4a2+4ayz+y2z2
A=(2a+yz)2
MÀ (2a+yz)2\(\ge\)0
=>A \(\ge\)0 với mọi x,y,z thuộc R
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\) (áp dụng svacxo)
Áp dụng bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
=>\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}}\)
Cách 2:
\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2\)
Tương tự hai bđt còn lại , cộng theo vế:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2=1\)(đpcm)
Cách 3:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y}.\frac{x^3}{y}.y^2}=3x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge3x^2-y^2\)
Tương tự 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế rồi chia cho 2 thu được đpcm
Cách 4:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+xy+xy\ge4\sqrt[4]{x^8}=4x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge4x^2-2xy\). Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi làm nốt:v
P/s: Lời giải trên dùng kỹ thuật ghép cặp, một kĩ thuật rất gây ức chế cho em vì nhiều khi nghĩ không ra cần ghép với số nào:v
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}xy=a\\yz=b\\zx=c\end{matrix}\right.\)
Giả thiết \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3ab^2+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-bc-ca\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{matrix}\right.\)
+) TH1: \(a+b+c=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
Biến đổi linh tinh P chắc là ra :D
+) TH2: \(a=b=c\Leftrightarrow xy=yz=zx\Leftrightarrow x=y=z\)
\(P=\frac{x+y}{y}\cdot\frac{y+z}{z}\cdot\frac{z+x}{x}=\frac{2y}{y}\cdot\frac{2z}{z}\cdot\frac{2x}{x}=2\cdot2\cdot2=8\)
Vậy....
TH1: \(xy+yz+zx=0\)
\(\Leftrightarrow z\left(x+y\right)=-xy\)
\(\Leftrightarrow x+y=\frac{-xy}{z}\)
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên ta cũng có :
\(\left\{{}\begin{matrix}y+z=\frac{-yz}{x}\\z+x=\frac{-zx}{y}\end{matrix}\right.\)
Ta có \(P=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
\(P=\frac{x+y}{y}\cdot\frac{y+z}{z}\cdot\frac{z+x}{x}\)
\(P=\frac{\frac{-xy}{z}\cdot\frac{-yz}{x}\cdot\frac{-zx}{y}}{xyz}\)
\(P=\frac{\frac{-x^2y^2z^2}{xyz}}{xyz}\)
\(P=\frac{-xyz}{xyz}=-1\)
Vậy....
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(3\left(x+y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{2}\)
Ta tiếp tục qui tụ bài toán về BĐT khác:
\(\Rightarrow2xyz+2\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\ge\left(x+y+z\right)^2+9\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Sử dụng tiếp \(xyz\ge xz+yz-z\)ta cần phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2+2\left(xz+yz-z\right)+1\ge2xy+2yz+2zx\)
Hay \(\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có ĐPCM
Hoặc ta có thể áp dụng BĐT AM-GM bộ 3 số ta có:
\(2xyz+1\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=\frac{3xyz}{\sqrt[3]{3xyz}}\ge\frac{9xyz}{x+y+z}\)
Tiếp tục ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{9}{x+y+z}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Đẳng thức Schur chỉ xảy ra khi \(x=y=z=1\)