Question

[Quốc Sơn]

Mọi Người ơi Giúp Em Pls

Mai em phải nộp rùi

Bài 1: Tìm GTNN

A = \(\left(x^2-x\right)\left(x^2+3x+2\right)\)

B = \(x^4+\left(x-2\right)^4+6x^2\left(x-2\right)^2\)

C = \(4x^2+4x-6\left|2x+1\right|+6\)

Bài 2: Tìm GTLN

E = \(\frac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}\)

Bài 3 Tìm cả GTNN và GTLN

E = \(\sqrt{-x^2+6x+1}\)

A = \(\sqrt{x}\sqrt{2-x}\)

B = \(\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Ta có:

\(A=(x^2-x)(x^2+3x+2)=x(x-1)(x+1)(x+2)\)

\(=[x(x+1)][(x-1)(x+2)]=(x^2+x)(x^2+x-2)\)

\(=(x^2+x)^2-2(x^2+x)=(x^2+x)^2-2(x^2+x)+1-1\)

\(=(x^2+x-1)^2-1\geq -1\)

Vậy GTNN của $A$ là $-1$. Dấu "=" xảy ra khi \((x^2+x-1)^2=0\Leftrightarrow x^2+x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)

------------------------

\(B=x^4+(x-2)^4+6x^2(x-2)^2=x^4+(x-2)^4-2x^2(x-2)^2+8x^2(x-2)^2\)

\(=[x^2-(x-2)^2]^2+8x^2(x-2)^2\)

\(=16(x-1)^2+8[x(x-2)]^2=16(x^2-2x+1)+8(x^2-2x)^2\)

\(=8[(x^2-2x)^2+2(x^2-2x+1)]=8[(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1+1]\)

\(=8[(x^2-2x+1)^2+1]=8(x^2-2x+1)^2+8\geq 8\)

Vậy GTNN của biểu thức là $8$ khi \((x^2-2x+1)^2=0\Leftrightarrow (x-1)^4=0\Leftrightarrow x=1\)

-------------------

\(C=4x^2+4x-6|2x+1|+6=(4x^2+4x+1)-6|2x+1|+5\)

\(=|2x+1|^2-6|2x+1|+5\)

\(=|2x+1|^2-6|2x+1|+9-4=(|2x+1|-3)^2-4\geq -4\)

Vậy GTNN của biểu thức là $-4$ khi \(|2x+1|=3\Leftrightarrow x=1\) hoặc $x=-2$

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

ĐKXĐ: \(x\geq 0\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
\(x+1\geq 2\sqrt{x}\Rightarrow x+1+\sqrt{x}\geq 3\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow E=\frac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}\leq \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\)

Vậy GTLN của $E$ là $\frac{1}{3}$ khi $x=1$