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Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{CG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CM}\)
Mà \(\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{CG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)
Do I là trung điểm AG:
\(\overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CG}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}\)
Lời giải:
a) Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại trung điểm $M$. Hiển nhiên $\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{CM}$ là vecto đối nên tổng bằng vecto không.
Theo tính chất trọng tâm ta có:
$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$
$=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM})=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM})$
$=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
$=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC})$
$=\frac{1}{6}(2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})$
$=\frac{-1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}$
$=\frac{-1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$
----------------------
$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{5}(-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$
$=\frac{-1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$
------------------
$\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$
$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$
-------------------
$\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$
b)
Từ phần a ta thấy: $\overrightarrow{CI}=\frac{5}{6}\overrightarrrow{CK}$ nên $C,I,K$ thẳng hàng.
\(a\text{) }\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)-\overrightarrow{CD}\\ =\overrightarrow{AC}-\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\)
\(b\text{) }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}\right)\\ =\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=0\)
\(c\text{) }\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CB}\\ =\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC}\right)-\overrightarrow{CE}\\ =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}\)
\(d\text{) }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{CF}\\ =\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}\right)+\left(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}\right)\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DF}+\left(\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EF}\right)\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DF}\)
A B C I
Ta có: \(\overrightarrow{IA}=3.\overrightarrow{IB}\)
\(\overrightarrow{AB}=2.\overrightarrow{BI}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{2}\left(3\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)\)
\(\Rightarrow\) Đáp án B đúng