Question

[KCLH Kedokatoji]

(Nghi binh 21/09)

Cho \(x,y,z,t>0\)

a) Tính \(\frac{7x^3+y^3+12z^3}{2x^2y+3xyz+5xz^2}\)nếu \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

b) Tính \(B=\frac{x^6+2y^6+3z^6+4xyz^4+10yzt^4}{5xy^2z^3}\)nếu \(x^4+y^4+z^4+t^4=4xyzt\)

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Khanh (Team ASL)]

a) Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Mà đề cho \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)nên ta được \(x=y=z\)

\(\Rightarrow\frac{7x^3+y^3+12z^3}{2x^2y+3xyz+5xz^2}=\frac{7x^3+x^3+12z^3}{2x^3+3x^3+5x^3}=\frac{20x^3}{10x^3}=2\)

b) Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương: \(x^4+y^4+z^4+t^4\ge4xyzt\)

Mà đề cho dấu "=" xảy ra vậy đề bài tương đương với \(x=y=z=t\)

\(\frac{x^6+2y^6+3z^6+4xyz^4+10yzt^4}{5xy^2z^3}=\frac{x^6+2x^6+3x^6+4x^6+10x^6}{5x^6}=\frac{20x^6}{5x^6}=4\)