Question

[Ben 10]

nêu Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7: 

Answer 1

[Ben 10]

B. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7:

    1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                  

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN.

                 Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.

                                                          BÀI GIẢI

                AOD và COD có:               

                        OA = OC (vì O là trung điểm AC)

                       (hai góc đối đỉnh)

                        OD = OB (vì O là trung điểm BD)

               Vậy AOD = COB (c.g.c)

              Suy ra: .

              Do đó: AD // BC. Nên (ở vị trí đồng vị)                 hình 8

              DAB và CBM có :   

              AD = BC ( do AOD = COB), , AB = BM ( B là trung điểm AM)

              Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy ra . Do đó BD // CM. (1)

               Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)

               Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.

    BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2

Baì 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính

            AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E

            và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A)

           Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.

PHƯƠNG PHÁP 3

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB  = AC. Gọi M là trung điểm BC.

a)     Chứng minh AM  BC.

b)    Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai

điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được.

          - Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC

          - hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.

BÀI GIẢI.

Cách 1. Xử dụng phương pháp 3.

a) Chứng minh AM  BC.

               ΔABM và ΔACM có:

               AB =AC (gt)

               AM chung

               MB = MC (M là trung điểm BC)

          Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: (hai góc tương ứng)

          Mà  (hai góc kề bù) nên

          Do đó:   AM  BC (đpcm)

b)    Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).

              Suy ra: (hai góc tương ứng), mà  nên = 90⁰

              Do đó: PM  BC.

              Lập luận tương tự QM  BC 

             Từ điểm M trên BC có AM  BC,PM  BC, QM  BC nên ba điểm A, P, Q

              thẳng hàng (đpcm)

Cách 2. Xử dụng phương pháp 4.

Chứng minh :

              ΔBPA = ΔCPA . Vậy AP là tia phân giác của . (1)

              ΔABQ = ΔACQ .Vậy AQ là tia phân giác của . (2)

              Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng.     

                                                     PHƯƠNG PHÁP 4

Ví dụ:Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC.

          Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm

          A và D nằm trong góc xOy.

          Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy

                                                        BÀI GIẢI:

          ΔBOD và ΔCOD có:

          OB = OC (gt)

          OD chung

          BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C

                            cùng bán kính).

          Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c).

          Suy ra : .

          Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.

          Do đó OD là tia phân giác của .

          Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .

          Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau.

          Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.

BAÌ TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN  AB (), H là giao

          điểm của BM và CN.

          a) Chứng minh AM = AN.

          b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB

          chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông

          AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.

PHƯƠNG PHÁP 5

 Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy

                      điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN.

                     Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

Gợi ý: Xử dụng phương pháp 1

          Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F  BC)

                        và  vuông tại E và F có:

                       BM = CN (gt),  ( cùng bằng )

                  Do đó:  = (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)

                 Suy ra: ME = NF.

                 Gọi K^’ là giao điểm của BC và MN.

                 MEK^’ và  NFK^’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), ( so le trong

                  của ME // FN) . Vậy  MEK^’ =  NFK^’ (g-c-g). Do đó: MK^’ = NK^’ .

                 Vậy K^’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K  K^’

                 Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.

          Cách 2. Kẻ ME // AC (E  BC)  (hai góc đồng vị)

                  Mà  nên . Vậy ΔMBE cân ở M.

                  Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được

                  ME = CN.

                  Gọi K^’ là giao điểm của BC và MN.

                 ΔMEK^’ và  ΔNCK^’ có:

                  (so le trong của ME //AC)

                 ME = CN      (chứng minh trên)

                 (so le trong của ME //AC)

                 Do đó : ΔMEK^’ =  ΔNCK^’ (g.c.g)  MK^’ = NK^’.

                 Vậy K^’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K  K^’

                 Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.

Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận

           B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là sai

  Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân ở A , , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác

                của góc C sao cho . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa

                mặt phẳng bờ BO).

               Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.

Hướng dẫn: Chứng minh  từ đó suy ra  tia CA và  tia CM trùng nhau.

                                                            BÀI GIẢI

           Tam giác ABC cân ở A nên

           (tính chất của tam giác cân). Mà CO là tia phân giác của ,

           nên . Do đó

           ΔBOM đều nên .

          Vậy :

          ΔBOC và ΔMOC có:

                             OB = OM ( vì ΔBOM đều)

                   

                   OC chung

          Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)

          Suy ra:  mà  (gt) nên .

          Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và  nên tia CA và

          tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)

Lưu ý: Trong phần này chuyên đề chưa được hoàn chỉnh, thầy cô giáo dạy toán lớp 7 muốn

           sử dụng cần viết lại từ phần đặt vấn đề và bổ sung thêm bài tập mới hoàn chỉnh được.

           Chúc tất cả chúng ta , những người làm nghề “lái đò” có một ngày 20//11 trọn vẹn.

                                                                                                Chào thân ái.

                                                                        Thăng Bình –Quảng Nam  ngày 20/11/2009

                                                                                                  Basan0702

Answer 2

[Lê Anh Tú]

copy trên mạng thì đửng có đăng !