Question

[Le Chi]

Một đa thức P(x) chia cho x² + x + 1 thì dư 1-x và chia cho x² - x + 1 thì dư 3x + 5. Tìm số dư của phép chia P(x) cho x⁴ + x² + 1

Answer 1

[Phạm Phương Anh]

Đặt \(P\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right).Q\left(x\right)+R\left(x\right)\)

( Q(x) là thương của phép chia P(x) cho \(x^4+x^2+1\); R(x) là dư của phép chia P(x) cho \(x^4+x^2+1\))

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right).Q\left(x\right)+R\left(x\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)-R\left(x\right)\) chia hết cho \(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x\right);R\left(x\right)\) có cùng số dư khi chia cho \(x^2+x+1\) và \(x^2-x+1\)

Do \(x^2+x+1\) có bậc là 2 nên thương của P(x) cho \(x^2+x+1\) có dạng mx+n

Do \(x^2-x+1\) có bậc là 2 nên thương của P(x) cho \(x^2-x+1\) có dạng px+q

Khi đó:

R(x) = \(\left(x^2+x+1\right)\left(mx+n\right)+1-x=\left(x^2-x+1\right)\left(px+q\right)+3x+5\)

Đồng nhất hệ số 2 vế ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+p\\n+m=q-p\\n+m-1=-p+q+3\\n+1=q+5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=p=2\\n=4\\q=0\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức phải tìm là: R(x) = \(-2x^3+2x^2+x+5\)

Answer 2

[Kim Dokja &Cale Henituse]

đồng nhất hệ số là sao ạ