Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2: Restore : a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\)
Tìm Min & Max của \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)
Bài 4: Tương đương giống hôm nọ thôi : V
Bài 5 : Thiếu ĐK thì vứt luôn : V
Bài 7: Tương đương
( Hoặc có thể AM-GM khử căn , sau đó đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) rồi áp dụng bổ đề vasile)
Bài 8 : Đây là 1 dạng của BĐT hoán vị
@Ace Legona @Akai Haruma @Hung nguyen @Hà Nam Phan Đình @Neet
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
Lời giải:
Từ \(x+y-z=-1\Rightarrow z-x-y=1\)
Ta có các biến đổi sau:
\(x+yz=x(z-x-y)+yz=x(z-x)+y(z-x)=(x+y)(z-x)\)
\(=(x+y)(y+1)\)
\(y+zx=y(z-x-y)+zx=y(z-y)+x(z-y)=(y+x)(z-y)\)
\(=(y+x)(x+1)\)
\(z+xy=z(z-x-y)+xy=(z-x)(z-y)=(x+1)(y+1)\)
Khi đó:\(P=\frac{x^3y^3}{(x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3}(*)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\((x+y)^2\geq 4xy\)
\(x+1=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2}{4}}\Rightarrow (x+1)^3\geq \frac{27x^2}{4}\)
\(y+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}\Rightarrow (y+1)^3\geq \frac{27y^2}{4}\) (tương tự ở trên)
\(\Rightarrow (x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3\geq \frac{729}{4}x^3y^3(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow P\leq \frac{x^3y^3}{\frac{729}{4}x^3y^3}=\frac{4}{279}\Rightarrow P_{\max}=\frac{4}{729}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=2; z=5\)