Question

[Như Ngọc]

Mấy bạn tóm tắt giúp minh kiến thức về Đồng dư thức được không. Mình cảm ơn

Answer 1

[Rachel]

ĐỒNG DƯ THỨC

1.1 Định nghĩa : cho số nguyên m>1 và các số nguyên a,b. Nếu khi chia a, b cho m ta đc cùng một số dư thì ta nói a đồng dư với b theo modulo m
$=>a\equiv b\iff a=mp+r;b=mq+r(r<m)$
khi đó ta kí hiệu $a\equiv b\left(\mathrm{mod}m\right)$

1.2 Định lí: Các mệnh đề sau là tương đương
i, $a\equiv b$
ii, $m|(a-b)$
iii, $\exists t\in Z:a=b+mt$
Ba mệnh đề trên ta dễ dàng cm đc bằng định nghĩa.

1.3 Tính Chất. Hệ quả

1. phản xạ: $a\equiv a\left(\mathrm{mod}m\right)$
đối xứng: $a\equiv b\left(\mathrm{mod}m\right)\Rightarrow b\equiv a\left(\mathrm{mod}m\right)$
bắc cầu: $a\equiv b\left(modm\right);b\equiv c\left(modm\right)=>a\equiv c\left(modm\right)$
2. Ta có thể cộng (trừ) từng vế nhiều đ?#8220;ng dư thức của cùng một modulo m với nhau: $a_k\equiv b_k\left(modm\right)k=1,2,..,n;{\epsilon }_k\in 1,-1=>\sum _{k=1}^n{\epsilon }_k{a}_k\equiv \sum _{k=1}^n{\epsilon }_k{b}_k\left(modm\right)$
3. Có thể nhân từng vế đông dư thức của cùng một modulo m : $a_k\equiv b_k\left(modm\right)k=1,2,..,n=>\prod _{k=1}^n{a}_k\equiv \prod _{k=1}^n{b}_k\left(modm\right)$
*hệ quả:
a, $a\equiv b\left(modm\right)\iff a\pm c\equiv b\pm c\left(modm\right)$
$b,a\equiv b+c\left(modm\right)\iff a-b\equiv c\left(modm\right)$
$c,a\equiv b\left(modm\right)=>ac\equiv bc\left(modm\right)$
điều ngược lại chỉ đúng khi (m,c)=1
d, $a\equiv b\left(modm\right)\iff a\equiv b+mp\left(modm\right)$
$e,a\equiv b\left(modm\right)=>a^n\equiv b^n\left(modm\right)$
4. Nếu d\a, d\b (d,m)=1 khi đó $a\equiv b\left(modm\right)\iff \frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}\left(modm\right)$

5. Nếu d\ (a,b,m) khi đó $a\equiv b\left(modm\right)\iff \frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}\left(mod\frac{m}{d}\right)$

6. $a\equiv b\left(mod{m}_k\right)k=1,2,..,n=>a\equiv b\left(mod\right[m_1,m_2,..m_n\left]\right)$ ở đây $[m_1,...m_n]$ là bội chung nhỏ nhất của $m_1,m_2,..m_n$. Đây là tc khá quan trọng và có ứng dụng khá lớn.

7. nếu $a\equiv b\left(modm\right)$ thì tập hợp ước chung của a và m (X) bằng tập ước chung của b và m (Y)
CM : cm $X\subset Y$ và $Y\subset X$
giả sử $x\in X$ khi đó a,m chia hết cho x mà a-b chia hết cho m => a-b chia hết cho x, do a chia hết cho x => b chia hết cho x => x là ước chung của b và m => $x\in Y=>X\subset Y$
tương tự ta sẽ cm đc $Y\subset X=>X=Y$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------