Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{4}\)
=>\(m^2\ne4\)
=>\(m\notin\left\{2;-2\right\}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=1\\mx+4y=2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\m\left(1-my\right)+4y=2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\m-m^2\cdot y+4y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\y\left(-m^2+4\right)=2-m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\y=\dfrac{-\left(m-2\right)}{-\left(m^2-4\right)}=\dfrac{1}{m+2}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{m+2}\\x=1-\dfrac{m}{m+2}=\dfrac{m+2-m}{m+2}=\dfrac{2}{m+2}\end{matrix}\right.\)
x+y>-5
=>\(\dfrac{2}{m+2}+\dfrac{1}{m+2}>-5\)
=>\(\dfrac{3}{m+2}+5>0\)
=>\(\dfrac{3+5m+10}{m+2}>0\)
=>\(\dfrac{5m+13}{m+2}>0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}5m+13>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{13}{5}\\m>-2\end{matrix}\right.\)
=>\(m>-2\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}5m+13< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{13}{5}\\m< -2\end{matrix}\right.\)
=>\(m< -\dfrac{13}{5}\)
Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{13}{5}\\\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\m\ne2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Lấy PT(1) + 3PT(2) ta được:
$mx-3y+3x+3y=7$
$\Leftrightarrow x(m+3)=7(*)$
Để hpt có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thì pt $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất.
Điều này xảy ra khi $m+3\neq 0\Leftrightarrow m\neq -3$
Khi đó:
$x=\frac{7}{m+3}$
$x=1-y=1-\frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$
Áp dụng BĐT Cô-si ta thấy:
$x^2+y^2\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x^2+y^2$ đạt min bằng $\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=y$
$\Leftrightarrow \frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$
$\Leftrihgtarrow 7=m-4$
$\Leftrightarrow m=11$
\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\3x+my=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x-my=2m\\3x+my=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+3\right)x=2m+5\\y=mx-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\\y=mx-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\\y=\dfrac{5m-6}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(x+y=1-\dfrac{m^2}{m^2+3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3m+5}{m^2+3}+\dfrac{5m-6}{m^2+3}=1-\dfrac{m^2}{m^2+3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8m-1}{m^2+3}=\dfrac{3}{m^2+3}\)
\(\Leftrightarrow8m-1=3\)
\(\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
a) Với \(m=0\) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}0x+4y=10-0\\x+0y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận trường hợp này).
Với \(m\ne0\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\-mx-m^2y=-4m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4-m^2\right)y=10-5m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Biện luận:
Với \(m=2\) \(\left(1\right)\Rightarrow0y=0\) (phương trình vô số nghiệm),
Với \(m=-2\Rightarrow0y=20\) (phương trình vô nghiệm).
Với \(m\ne\pm2\Rightarrow y=\dfrac{10-5m}{4-m^2}=\dfrac{5\left(2-m\right)}{\left(2-m\right)\left(2+m\right)}=\dfrac{5}{m+2}\)
Vì \(y>0\Rightarrow\dfrac{5}{m+2}>0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2\)
Thay \(y=\dfrac{5}{m+2}\) vào (2) ta được:
\(x+\dfrac{5m}{m+2}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{8-m}{m+2}\)
Vì x>0 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}8-m>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}8-m< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow-2< m< 8\)
Vì m là số nguyên và \(m\ne2\) nên \(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\)
Vậy \(m\in\left\{1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất sao cho \(x>0,y>0\).
b) Với \(m=0\) ta có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(4;\dfrac{5}{2}\right)\) (loại).
Với \(m=2\). Ta có hệ vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.\)
Vì y là số nguyên dương nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\2-\dfrac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\x< 4\end{matrix}\right.\). Mặt khác x>0.
\(\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)
Với \(m\ne\pm2\). Ta có \(y=\dfrac{5}{m+2}\).
Vì x,y là các số nguyên dương nên x,y>0. Nên:
\(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) (1')
Mặt khác: \(5⋮\left(m+2\right)\)
\(\Rightarrow m+2\inƯ\left(5\right)\)
\(\Rightarrow m+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)
\(\Rightarrow m\in\left\{-1;-3;3;-7\right\}\) (2')
Từ (1') ,(2') \(\Rightarrow m\in\left\{-1;3\right\}\)
Vậy \(m\in\left\{-1;2;3\right\}\) thì hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với x,y là số nguyên dương.
- Thay x = 1 vào hệ phương trình ta được :\(\left\{{}\begin{matrix}m-y=2\\3+my=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=y+2\\my=2\end{matrix}\right.\)
- Thay m ở PT(I) vào PT ( II ) ta được :\(y\left(y+2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow y^2+2y-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1-\sqrt{3}\\y=-1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
- Thay lại y vào PT ( I ) ta được : \(\left[{}\begin{matrix}m=1-\sqrt{3}\\m=1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy tồn tại 2 giá trị của m là \(1\pm\sqrt{3}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài .