Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\).
Vì vậy:
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}< 0\) khi \(cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)< 0\) hay \(90^o< \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\le180^o\).
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0\) khi \(cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0\) hay \(0^o\le\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)< 90^o\).
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\) khi \(cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0\) hay \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90^o\).
Ta có: \(\overrightarrow u = \left( {0; - 5} \right),\;\overrightarrow v = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow u .\;\,\overrightarrow v = 0.\sqrt 3 + \left( { - 5} \right).1 = - 5.\)
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
\( \Leftrightarrow 12\sqrt 2 = 3.8.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \)
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \(45^\circ \)
Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.
Ta có 
= 
=> = 
= -
= - 
= -
Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vec tơ:
= + => = - = (- ).
AK là trung tuyến thuộc cạnh BC nên
+ 
= 2 => - += 2
Từ đây ta có = 
+ => 
= - - .
BM là trung tuyến thuộc đỉnh B nên
+ 
= 2 => - + = 2
=> = + .
Để hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) (\(\overrightarrow v \ne 0\) ) cùng phương thì phải tồn tại một số \(k\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u = k.\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = k{x_2}\\{y_1} = k{y_2}\end{array} \right.\) ( ĐPCM)
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng: có giá song song và cùng hướng với nhau.
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow x \) ngược hướng: có giá song song và ngược hướng với nhau.
Vectơ \(\overrightarrow z \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow z \) ngược hướng với nhau.
Vectơ \(\overrightarrow y \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow y \) cùng hướng với nhau.
Vectơ \(\overrightarrow b \) có giá không song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương với nhuau. Do vậy không xét chúng cùng hướng hay ngược hướng với nhau.
Cách 1:
Gọi tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y).
Ta có: \(|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
Đặt \(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a \)
\( \Rightarrow \overrightarrow i = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)
\( \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = 1\)
Mặt khác:
\(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a \) và \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0\) với mọi \(x,y \ne 0\)
Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.
Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Cách 2:
Với mọi vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \), ta có: \(|\overrightarrow a |\; > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0\). Đặt \(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a = k.\overrightarrow a \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \;|k.\overrightarrow a |\; = \;|k|.|\overrightarrow a |\;\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {\,i} \,} \right| = k.|\overrightarrow a |\; = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\end{array}\)
Mặt khác: \(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a = k.\overrightarrow a \) và \(k > 0\)
Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.
Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Tham khảo:
Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\;\; < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)
Vậy \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\) nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)