Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(pt\Leftrightarrow2sinx.cosx+\left(sinx+cosx\right)-2=m\)
đặt \(sinx+cosx=t\) , do \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\) thì \(x+\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\).
Vì vậy \(t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) có tập giá trị là \(\left(0;\sqrt{2}\right)\).
Suy ra \(2sinxcosx=t^2-1\), ta có phương trình:
\(t^2-1+t-2=m\Leftrightarrow t^2+t-3=m\) với \(t\in\left(0;\sqrt{2}\right)\).
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^2+t-3\) có \(f'\left(t\right)=2t+1\ge0\) với mọi \(t\in\left(0;\sqrt{2}\right)\).
Suy ra hàm số \(f\left(t\right)=t^2+t-3\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\sqrt{2}\right)\).
\(f\left(0\right)=-3;f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\).
Vậy với \(-3< m< \sqrt{2}-1\) thì \(t^2+t-3=m\) có nghiệm duy nhất.
Quay trở lại phép đặt t ta có: \(t=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) . Để phương trình \(t=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\) thì \(t\) nhận các giá trị tương ứng với \(x+\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right)\) hay \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}< t< 1\).
Suy ra \(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2}< m< 0\),
Bài giả của bạn Bùi Thị Vân có nhầm lẫn, đáp số bạn Vân đưa ra là \(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2}< m< 0\). Có thể thấy \(m=-1\) thuộc khoảng \(\left(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2};0\right)\) nhưng với \(m=-1\) thì phương trình \(t^2+t-3=m\Leftrightarrow t^2+t-3=-1\)\(\Leftrightarrow t=1;t=-2\). Phương trình đã cho tương đương với \(\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Đặt \(y=x+\dfrac{\pi}{4}\) thì \(\dfrac{\pi}{4}< y< \pi\) (do \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\)) và phương trình trở thành \(\sin y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Trong khoảng \(\dfrac{\pi}{4}< y< \pi\)phương trình \(\sin y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) có nghiệm duy nhất \(y=\dfrac{3\pi}{4}\) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{\pi}{2}\) (chứ không phải là có đúng hai nghiệm như yêu cầu đề bài). Xin sửa lại bài giải như sau:
- Đặt \(t=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin x+\cos x\right)\) thì \(t\sqrt{2}=\sin x+\cos x\Rightarrow2t^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x\) nên \(\sin2x=2t^2-1\), phương trình đã cho trở thành \(2t^2-1+\sqrt{2}t-2=m\Leftrightarrow2t^2+\sqrt{2}t-3=m\) (1)
-Vì phương trình đã cho được xét trong khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\) tức là \(x+\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\) suy ra \(t=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\in(0;1]\). Do đó để phương trình đã cho có nghiệm \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\), điều kiện cần và đủ là (1) có nghiệm \(t\in(0;1]\), tức là số \(m\) phải thuộc tập giá trị của hàm số \(f\left(t\right)=2t^2+\sqrt{2}t-3\) với \(t\in(0;1]\). Ta có \(f'\left(t\right)=4t+\sqrt{2}>0,\)\(\forall t\in(0;1]\) nên \(f\left(t\right)\)đồng biến trong khoảng \(t\in(0;1]\) và tập giá trị của nó là khoảng \((f\left(0\right);f\left(1\right)]=(-3;\sqrt{2}-1]\). Như vậy điều kiện cần để yêu cầu bài toán được thực hiện là \(m\in(-3;\sqrt{2}-1]\).
- Với \(m\in(-3;\sqrt{2}-1]\), chú ý rằng \(f\left(t\right)\) đồng biến trong khoảng \(t\in(0;1]\) nên (1) có nghiệm duy nhất \(t_0\in(0;1]\) và phương trình đã cho tương đương với \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=t_0\) (2). Ta cần đếm số nghiệm của (2) trong khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\). Để làm điều đó, ta đặt \(y=x+\dfrac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=y-\dfrac{\pi}{4}\) thì (2) trở thành \(\sin y=t_0\) và \(y\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\).
Hình trên biểu diễn đồ thị hàm số \(y=\sin x\) với \(x\in(\dfrac{\pi}{4};\pi]\). Ta thấy phương trình \(\sin y=t_0\) có 2 nghiệm trong khoảng này khi và chỉ khi \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}< t_0< 1\), tức là \(m\) phải thuộc tập giá trị của hàm số \(f\left(t\right)=2t^2+\sqrt{2}t-3\) với
\(t\in\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};1\right)\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \(f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)< m< f\left(1\right)\Leftrightarrow-1< m< \sqrt{2}-1\).
Đáp số: \(-1< m< \sqrt{2}-1\).
Chú ý: Bài toán này có thể giải không dùng đạo hàm. Các bạn thử tìm một cách giải như vậy.
Tính \(I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}}dx\left(1\right)\)
Đặt \(t=cosx\Rightarrow sinx=\sqrt{1-cos^2x}\)
\(\Rightarrow dt=-sinx.dx\)
\(\Rightarrow I=\int_0^1\dfrac{t^{2017}.}{\sqrt{1-t^2}.\left(\left(\sqrt{1-t^2}\right)^{2017}+t^{2017}\right)}dt\)
Đặt: \(t=siny\Rightarrow\sqrt{1-t^2}=cosy\)
\(\Rightarrow dt=cosy.dy\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y.cosy}{cosy\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}dy=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y}{\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x}{\left(cos^{2017}x+sin^{2017}x\right)}\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) ta được
\(2I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x+cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}x}dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}1dx\)
\(=x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{\pi}{4}\)
Thế lại bài toán ta được
\(\dfrac{\pi}{4}+t^2-6t+9-\dfrac{\pi}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-6t+9=0\)
\(\Leftrightarrow t=3\)
Chọn đáp án C
mỗi trắc nghiệm thoy mà lm dài ntn s @@
chắc lên đó khó lắm ag
Giống bài trước, \(x=3+2\sqrt{2}\) là nghiệm
\(\Rightarrow y=\dfrac{mx+1}{x-m}\Rightarrow y'=\dfrac{-m^2-1}{\left(x-m\right)^2}\) nghịch biến trên miền xác định
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)=\dfrac{m+1}{1-m}=-2\Rightarrow m\)
a.
\(y'=-\dfrac{3}{2}x^3+\dfrac{6}{5}x^2-x+5\)
b.
\(y'=\dfrac{\left(x^2+4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2+4x+5}}=\dfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+5}}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}\)
c.
\(y=\left(3x-2\right)^{\dfrac{1}{3}}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{3}\left(3x-2\right)^{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\left(3x-2\right)^2}}\)
d.
\(y'=2\sqrt{x+2}+\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x+2}}=\dfrac{6x+7}{2\sqrt{x+2}}\)
e.
\(y'=3sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right).\left[sin\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right)\right]'=-15sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right).cos\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right)\)
g.
\(y'=4cot^3\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)\left[cot\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)\right]'=12cot^3\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right).\dfrac{1}{sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)}\)
Ở tất cả các dạng bài như thế này em chỉ cần ghi nhớ công thức:
\(d(u(x))=u'(x)dx\)
Câu 1)
Ta có \(I_1=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x}\cos xdx=\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin x}d(\sin x)\)
Đặt \(\sin x=t\Rightarrow I_1=\int ^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}e^tdt=\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right|e^t=e-e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Câu 2)
\(I_2=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}e^{2\cos x+1}\sin xdx=\frac{-1}{2}\int ^\frac{\pi}{2}_{\frac{\pi}{4}}e^{2\cos x+1}d(2\cos x+1)\)
Đặt \(2\cos x+1=t\Rightarrow I_2=\frac{-1}{2}\int ^{1}_{1+\sqrt{2}}e^tdt\)
\(=\frac{-1}{2}.\left.\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt{2}\end{matrix}\right|e^t=\frac{-1}{2}(e-e^{1+\sqrt{2}})\)
Câu 3:
Có \(I_3=\int ^{e}_{1}\frac{e^{2\ln x+1}}{x}dx=\int ^{e}_{1}e^{2\ln x+1}d(\ln x)\)
\(=\frac{1}{2}\int ^{e}_{1}e^{2\ln x+1}d(2\ln x+1)\)
Đặt \(2\ln x+1=t\Rightarrow I_3=\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}e^tdt=\frac{1}{2}.\left.\begin{matrix} 3\\ 1\end{matrix}\right|e^t=\frac{1}{2}(e^3-e)\)
Câu 4:
\(I_4=\int ^{1}_{0}xe^{x^2+2}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}e^{x^2+2}d(x^2+2)\)
Đặt \(x^2+2=t\Rightarrow I_4=\frac{1}{2}\int ^{3}_{2}e^tdt=\frac{1}{2}.\left.\begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix}\right|e^t=\frac{1}{2}(e^3-e^2)\)
Với điều kiện \(\left(m-2\cos x\right)\left(m-2\sin x\right)\ne0\) (*) phương trình đã cho tương đương với
\(\left(m\sin x-2\right)\left(m-2\sin x\right)=\left(m\cos x-2\right)=\left(m-2\cos x\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2\sin x-2m-2m\sin^2x+4\sin x=m^2\cos x-2m-2m\cos^2x+4\cos x\)
\(\Leftrightarrow2m\left(\cos^2x-\sin^2x\right)-m^2\left(\cos x-\sin x\right)-4\left(\cos x-\sin x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\cos x-\sin x\right)\left(2m\left(\cos x+\sin x\right)-m^2-4\right)=0\) (1)
a) Nếu \(m=0\) thì (1) \(\Leftrightarrow\cos x-\sin x=0\)\(\Leftrightarrow\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi \(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\) , vô lí.
Vậy khi \(m=0\), phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
b) Nếu \(m\ne0\) thì (1) tương đương với tập hợp hai phương trình:
\(\tan x=1\) (2) và \(\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m}\)\(\Leftrightarrow\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\) (3)
Trong đó phương trình (3) vô nghiệm vì \(\left|\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\right|=\dfrac{m^2+4}{2\sqrt{2}\left|m\right|}\ge\dfrac{2\sqrt{4m^2}}{2\sqrt{2}\left|m\right|}=\sqrt{2}>1\).
Phương trình (2) có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi
\(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\left(-1\right)^k\sqrt{2}\), trái giả thiết \(m\ne\pm\sqrt{2}\).
Tóm lại, trong mọi trường hợp phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) Điều kiện \(x\in[20\pi;30\pi]\) tương đương với \(20\pi\le\dfrac{\pi}{4}+k\pi\le30\pi\)\(\Leftrightarrow20-\dfrac{1}{4}\le k\le30-\dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow k=21;22;23;...;29\). Số nghiệm của phương trình trong đoạn đang xét là 9.