Question

[Duyên Lô Thị]

Hình vuông  ABCD có cạnh AB=a. Gọi M là trung điểm của các cạnh BC.Trên cạnh CD lấy điểm N sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng AM bằng độ dài đoạn DN. Tính AM,CN,MN

Answer 1

[KAl(SO4)2·12H2O]

Vẽ \(NP\perp AM\) tại P

\(\hept{\begin{cases}\text{có }AB=a\Rightarrow AM=\sqrt{AB^2+BN^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a\\\text{từ }CM:AM=AD=a\end{cases}}\Rightarrow MP=\frac{-2+\sqrt{5}}{2}a\) 

Đặt ND = NP, ta có:

\(x^2+MP^2=MC^2+CN^2\)

\(x^2+\left(\frac{-2+\sqrt{5}}{2}\right)^2a^2=\frac{a^2}{4}+\left(a-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{9-4\sqrt{5}}{4}a^2=\frac{a^2}{4}+a^2-2ax+x^2\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(\frac{9-4\sqrt{5}}{4}-\frac{1}{4}-1\right)=-2ax\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{5}\right)a^2=-2ax\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a\Rightarrow CN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}a\)

\(\Rightarrow MN=\sqrt{CN^2+MC^2}\)

     \(MN=\sqrt{\frac{15-6\sqrt{5}}{4}a^2}\)

    \(MN=\sqrt{\frac{15-6\sqrt{5}}{2}}a\)

P/s: Ko chắc