LM
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TG
1
MN
0
KB
7 tháng 3 2019
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
\(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{a^2+3ac}{a+c}}{\frac{2a^2}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\left(1\right)\)
\(\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{c^2+3ac}{a+c}}{\frac{2c^2}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{c+3a}{2c}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) có : \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{ac+3c^2+ac+3a^2}{2ac}=\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; c dương , ta có :
\(c^2+a^2\ge2ac\Rightarrow\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}\ge\frac{3.2ac+2ac}{2ac}=4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=c\)
Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\) \(\Rightarrow\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\Rightarrow a=b=c\)
Vậy ...
BĐT cô-si, ta có:
\(\left(a+b\right)\ge2\sqrt{ab}\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân từng vế của BĐT
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)(đpcm)
Sử dụng bất đẳng thức Côsi :
Cho cặp số a, b, ta được : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (1)
Cho cặp số \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\), ta được : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\) (2)
Nhấn 2 vế (1) và (2), ta được :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\left(đpcm\right)\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi : \(\hept{\begin{cases}a=b\\\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\end{cases}\Leftrightarrow a=b}\)