LM
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KB
7 tháng 3 2019
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
\(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{a^2+3ac}{a+c}}{\frac{2a^2}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\left(1\right)\)
\(\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{c^2+3ac}{a+c}}{\frac{2c^2}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{c+3a}{2c}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) có : \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{ac+3c^2+ac+3a^2}{2ac}=\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; c dương , ta có :
\(c^2+a^2\ge2ac\Rightarrow\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}\ge\frac{3.2ac+2ac}{2ac}=4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=c\)
Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\) \(\Rightarrow\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\Rightarrow a=b=c\)
Vậy ...
VH
7 tháng 6 2019
\(\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\) => \(b=\frac{2ac}{a+c}\) thay vào BĐT cần chứng minh, ta được:
\(\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}+\frac{c^2+3ac}{2c^2}\)
\(=\frac{2a^2c^2+3a^3c+3ac^3}{2a^2c^2}\ge4\)
<=> 3a3c-6a2c2+3ac3 ≥ 0
<=> 3ac(a-c)2 ≥ 0 luôn đúng ∀ a,c > 0
Vậy BĐT được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c; b≠0
5 tháng 6 2019
tham khảo nhé :)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\)\(\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
Ta có : \(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a\left(a+3c\right)}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\)
tương tự : \(\frac{b+c}{2c-b}=\frac{c+3a}{2c}\)
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{2ac+3\left(a^2+c^2\right)}{2ac}\ge\frac{2ac+3.2ac}{2ac}=\frac{8ac}{2ac}=4\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 9 2017
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra tồn tại các số \(x,y,z>0\) thỏa mãn:
\((a,b,c)=\left(\frac{x}{y+z},\frac{y}{x+z},\frac{z}{x+y}\right)\)
Khi đó, BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\geq 4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)+\left ( \frac{y}{x}+\frac{y}{x} \right )+\left ( \frac{z}{x}+\frac{z}{y} \right )\geq 4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \right )\) \((\star)\)
BĐT trên hiển nhiên đúng do theo BĐT Cauchy-Schwarz thì:
\(\left\{\begin{matrix} x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{4x}{y+z}\\ y\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{4y}{x+z}\\ z\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right )\geq \frac{4x}{y+x}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế thì ta thu được \((\star)\), do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
LN
19 tháng 9 2017
bài h qua thì dễ mà t thì đến muộn
Bài nay khó z mak t đến sớm là sao z trời :((
P
30 tháng 11 2017
áp dung bdt 1/x+1/y>=4/x+y ta co
\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+...\)
=(a+c)(\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\)) + (b+d)(\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\))\(\ge\)\(\frac{4a+4c}{a+b+c+d}+\frac{4b+4d}{a+b+c+d}\)=4(dpcm)
30 tháng 11 2017
= \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
\(\ge\left(a+c\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)
BĐT cô-si, ta có:
\(\left(a+b\right)\ge2\sqrt{ab}\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân từng vế của BĐT
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)(đpcm)
Sử dụng bất đẳng thức Côsi :
Cho cặp số a, b, ta được : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (1)
Cho cặp số \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\), ta được : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\) (2)
Nhấn 2 vế (1) và (2), ta được :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\left(đpcm\right)\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi : \(\hept{\begin{cases}a=b\\\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\end{cases}\Leftrightarrow a=b}\)