Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
thử dùng cô si đi
Áp dụng Côsi:
\(2.\frac{4}{3}.\sqrt{2a+bc}\le\left(\frac{4}{3}\right)^2+2a+bc\)
Tương tự: \(2.\frac{4}{3}\sqrt{2b+ca}\le\frac{16}{9}+2b+ca;2.\frac{4}{3}\sqrt{2c+ab}\le\frac{16}{9}+2c+ab\)
\(\Rightarrow\frac{8}{3}Q\le\frac{16}{3}+2\left(a+b+c\right)+bc+ca+ab=\frac{28}{3}+ab+bc+ca\)
Ta có: \(3\left(ab+bc+ca\right)=2\left(ab+bc+ca\right)+ab+bc+ca\)
\(\le2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2=4\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{8}{3}Q\le\frac{28}{3}+\frac{4}{3}=\frac{32}{3}\Rightarrow Q\le4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
ta có \(4\left(a^2+a+2b^2\right)=5\left(a^2+2ab+b^2\right)+3\left(a^2-2ab+b^2\right)\)\(=5\left(a+b\right)^2+3\left(a-b\right)^2\ge5\left(a+b\right)^2\)(vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\))
vì a,b dương nên \(2\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\sqrt{5}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\left(1\right)\)
dấu "=" xảy ra khi a=b
chứng minh tương tự để có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{5}{4}\left(b+c\right)\Leftrightarrow b=c\left(2\right)\\\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=c\left(3\right)\end{cases}}\)
cộng các bất đẳng thức (1) (2) và (3) theo vế ta được
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{5}{4}\cdot2\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2019\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=673}\)
* Ta có:
\(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
* Tương tự ta có:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\); \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
\(=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)
(Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 673)
Vậy \(P_{min}=2019\sqrt{5}\Leftrightarrow a=b=c=673\)
ý a, áp dụng BĐT cô si có
a + b >= căn ab dấu = xay ra a=b
b + c >= căn bc dau = xay ra khi b=c
c+a >= căn ac dau = xay ra khi a=c
công tung ve vao. rut gon ta dc điều phải chung minh
\(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)
\(\Rightarrow Q^2=\left(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\right)^2\)
Vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:
\(\left(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\right)^2\)\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{2a+bc}\right)^2+\left(\sqrt{2b+ca}\right)^2+\left(\sqrt{2c+ab}\right)^2\right]\)
\(\Leftrightarrow Q^2\le3\left(2a+bc+2b+ca+2c+ab\right)\)
\(\Leftrightarrow Q^2\le3\left[2\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow Q^2\le6\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow Q^2\le6.2+3\left(ab+bc+ca\right)\)(vì \(a+b+c=2\))
\(\Leftrightarrow Q^2\le12+3\left(ab+bc+ca\right)\left(1\right)\)
Vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+b^2\ge2ab\left(2\right)\);
\(b^2+c^2\ge2bc\left(3\right)\)
\(c^2+a^2\ge2ca\left(4\right)\)
Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge\)\(ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(vì \(a+b+c=2\))
\(\Leftrightarrow4\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow4+12\ge3\left(ab+bc+ca\right)+12\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)+12\le16\left(5\right)\)
Từ (1) và (5), ta được:
\(Q^2\le16\)
\(\Leftrightarrow Q\le4\)
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\a+b+c=2\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vậy \(maxQ=4\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\)