Question

[lyzimi]

gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh 1tam giác 

\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\)

chứng minh rằng tam giác đó đều 

Answer 1

[Minh Triều]

Cách 1 : giả sử a,b,c là 3 cạnh của tam giác đều =>a=b=c

=>\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

Vậy a,b,c là ba cạnh của tam giác đều.

Cách 2: 

\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}=6\)

<=>\(\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=6\)

Áp dụng BĐT cô-si cho các cặp số không âm sau: c/b và b/c ; b/a và a/b ; c/a và a/c ta được:

\(\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge2+2+2=6\)

Mà \(\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=6\)

Do đó chỉ nhận khi dấu "=" xảy ra

Dấu ''=" xảy ra khi a=b=c

Vậy tam giác a,b,c là 3 cạnh của tam giác đều.

Cách 2 khó hỉu :D

Answer 2

[Phước Nguyễn]

Bài này bạn dùng cách phá ngoặc và nhóm các hạng tử sẽ ra. Mình đã làm bài này rồi. Bạn tìm trong câu hỏi tương tự sẽ có