Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4: Đặt \(x=\dfrac{a+b}{a-b};y=\dfrac{b+c}{b-c};z=\dfrac{c+a}{c-a}\).
Ta có \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\dfrac{2a.2b.2c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=-1\).
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)-2\ge0\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Vậy ta có đpcm
mình xí câu 45,47,51 :>
45. a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{a+2b}=\dfrac{9}{a+2b}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b}=\dfrac{9}{a+2b}\)(1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{b+c+c}=\dfrac{9}{b+2c}\)(2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{c+a+a}=\dfrac{9}{c+2a}\)(3)
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
55.
\(3c^2\ge b^2+b^2+a^2\ge\dfrac{1}{3}\left(b+b+a\right)^2=\dfrac{1}{3}\left(2b+a\right)^2\)
\(\Rightarrow9c^2\ge\left(2b+a\right)^2\Rightarrow3c\ge2b+a\)
Do đó:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{a+2b}=\dfrac{9}{a+2b}\ge\dfrac{9}{3c}=\dfrac{3}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
56.
\(\dfrac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\dfrac{4x^2\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)^2}=\dfrac{4x^2}{y+z}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y^2\left(z+x\right)}{zx}\ge\dfrac{4y^2}{z+x}\) ; \(\dfrac{z^2\left(x+y\right)}{xy}\ge\dfrac{4z^2}{x+y}\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\dfrac{4x^2}{y+z}+\dfrac{4y^2}{z+x}+\dfrac{4z^2}{x+y}\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=2\left(x+y+z\right)=2\)
Vậy \(P_{min}=2\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Bài 1:
ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;-2\right\}\)
a) Ta có: \(A=\left(\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{2}{2-x}+\dfrac{1}{x+2}\right):\left(x-2+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)
\(=\left(\dfrac{x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right):\left(\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x+2}+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)
\(=\dfrac{x-2x-4+x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}:\dfrac{x^2-4+10-x^2}{x+2}\)
\(=\dfrac{-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{6}\)
\(=\dfrac{-1}{x-2}\)
b) Ta có: \(\left|x\right|=\dfrac{1}{2}\)
nên \(x\in\left\{\dfrac{1}{2};\dfrac{-1}{2}\right\}\)
Thay \(x=\dfrac{1}{2}\) vào biểu thức \(A=\dfrac{-1}{x-2}\), ta được:
\(A=-1:\left(\dfrac{1}{2}-2\right)=-1:\dfrac{-3}{2}=\dfrac{-1\cdot2}{-3}=\dfrac{2}{3}\)
Thay \(x=-\dfrac{1}{2}\) vào biểu thức \(A=\dfrac{-1}{x-2}\), ta được:
\(A=-1:\left(-\dfrac{1}{2}-2\right)=-1:\dfrac{-5}{2}=1\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{5}\)
Vậy: Khi \(\left|x\right|=\dfrac{1}{2}\) thì \(A\in\left\{\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{5}\right\}\)
c) Để A<0 thì \(\dfrac{-1}{x-2}< 0\)
\(\Leftrightarrow x-2>0\)
hay x>2
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>2
Vậy: Để A<0 thì x>2
Bạn nào giúp mình giải bài toán hình 8 này với: bài 26 sgk đổi 16 là y còn y là 16. MÌNH TẶNG 5 LIKE
Bài 16:
1) \(x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2\)
2) \(x^2+6x+9=\left(x+3\right)^2\)
3) \(4x^2+4x+1=\left(2x+1\right)^2\)
4) \(9+12x+4x^2=\left(2x+3\right)^2\)
5) \(x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)
6) \(x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2\)
7) \(36-12x+x^2=\left(x-6\right)^2\)
8) \(4x^2-12xy+9y^2=\left(2x+3y\right)^2\)
9) \(9x^2-6x+1=\left(3x-1\right)^2\)
10) \(4x^2+12x+9=\left(2x+3\right)^2\)
11) \(x^2+3x+\dfrac{9}{4}=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2\)
12) \(4x^2-6x+\dfrac{9}{4}=\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)^2\)
Bài 16:
1: \(x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2\)
2: \(x^2+6x+9=\left(x+3\right)^2\)
3: \(4x^2+4x+1=\left(2x+1\right)^2\)
4: \(4x^2+12x+9=\left(2x+3\right)^2\)
5: \(x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)
6: \(x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2\)
7: \(36-12x+x^2=\left(6-x\right)^2\)
8: \(4x^2-12xy+9y^2=\left(2x-3y\right)^2\)
Gọi khoảng cách quãng đường là a đk a thuộc N*
12 phút =1/5(giờ)
Tuấn đi trong 12 phút được số km là
15.1/5=3(km)
Hiệu vận tốc của Tùng và Tuấn là 20-15=5(km/h)
Vì hai bạn cùng đến trường một lúc suy ra thời gian mà Tùng đuổi kịp Tuấn cũng chính là thời gian mà Tùng đi đến trường
Thời gian Tùng đi tới trường là 3:5=3/5(giờ)=36(phút)
Vậy quãng đường từ nhà đến trường dài là 3/5.20=12(km)
Bài 2:
b: \(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y+1\right)\)
Bài 2:
Gọi độ dài quãng đường AB là x(km)
(Điều kiện: x>0)
Thời gian đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{25}\left(giờ\right)\)
Thời gian đi từ B về A là \(\dfrac{x}{30}\left(giờ\right)\)
Tổng thời gian cả đi lẫn về là \(3h40p=\dfrac{11}{3}\left(giờ\right)\) nên ta có phương trình:
\(\dfrac{x}{25}+\dfrac{x}{30}=\dfrac{11}{3}\)
=>\(\dfrac{6x+5x}{150}=\dfrac{11}{3}\)
=>\(\dfrac{11x}{150}=\dfrac{11}{3}\)
=>\(x=\dfrac{11}{3}:\dfrac{11}{150}=50\left(nhận\right)\)
Vậy: ĐỘ dài quãng đường AB là 50km
Bài 3:
1:
a: Sửa đề: ΔABC vuông tại A
Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có
\(\widehat{ACB}\) chung
Do đó: ΔCHA~ΔCAB
b: Ta có: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=3^2+4^2=25\)
=>\(BC=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)
Xét ΔCAB có CD là phân giác
nên \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DB}{BC}\)
=>\(\dfrac{AD}{4}=\dfrac{DB}{5}\)
mà AD+DB=AB=3cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{AD}{4}=\dfrac{DB}{5}=\dfrac{AD+DB}{4+5}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)
=>\(AD=4\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\left(cm\right);DB=5\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\left(cm\right)\)
c: Xét ΔCAH có CI là phân giác
nên \(\dfrac{IH}{AI}=\dfrac{CH}{CA}\left(1\right)\)
Xét ΔCAB có CD là phân giác
nên \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AD}{DB}\left(2\right)\)
Ta có: ΔCHA~ΔCAB
=>\(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{IH}{IA}\)
9.
\(\Leftrightarrow a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+c^2a^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ca\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right);\left(1;-1;-1\right)\) và các hoán vị
10.
\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\Rightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{1}{2}\)
Lại có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le1\)
11.
Do \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|\le1\\\left|b\right|\le1\\\left|c\right|\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge0\)
Do đó:
\(abc+2\left(1+a+b+c+ab+bc+ca\right)\)
\(=1+a+b+c+ab+bc+ca+\left(1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca+a+b+c+\dfrac{1}{2}+\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{2}+\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c+1\right)^2+\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge0\) (đpcm)