Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a^2+ab^2-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)
Khi đó
\(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ac\right)\)
Mà \(ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
=> \(A\ge\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)( ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\)
Do \(a+b^2\ge2b\sqrt{a}\)
\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)
Do \(\sqrt{a}\le\frac{a+1}{2}\)
tém lại chút đi
Dễ thấy \(100^{80}⋮50\) ,đặt \(100^{80}=50t\) với t là số chẵn
Ta có:\(302\equiv52\)(mod 125)\(\Rightarrow302^5\equiv52^5=26^5.2^5=26^5.32\equiv32\)(mod 125)
\(\Rightarrow302^{10}\equiv32^2\equiv24\)(mod 125) \(\Rightarrow302^{50}\equiv24^5\equiv-1\)(mod 125)
Khi đó:\(302^{100^{80}}=302^{50t}=\left(302^{50}\right)^t\equiv\left(-1\right)^t=1\)(mod 125) do t là số chẵn
Bài 1:
a) Đặt \(6x+7=y\)
\(PT\Leftrightarrow y^2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=72\)
\(\Leftrightarrow y^4-y^2-72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0\)
Mà \(y^2+8>0\left(\forall y\right)\)
\(\Rightarrow y^2-9=0\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow\left(6x+4\right)\left(6x+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+4=0\\6x+10=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)
b) đk: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)
\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)
Bài 2 không tiện vẽ hình nên thôi nhờ godd khác:)
Bài 3:
Ta có:
\(a_n=1+2+3+...+n\)
\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=2\cdot\left(1+2+3+...+n\right)+\left(n+1\right)\)
\(=2\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\)
\(=n^2+n+n+1=\left(n+1\right)^2\)
Là SCP => đpcm
\(\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)=\Sigma\frac{a\left(b+c\right)^2+\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2}=\Sigma a+\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\)
Mặt khác ta có :
\(\left(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\right)\left(\Sigma a\right)=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}+\Sigma\left(a^2+bc\right)\) ( nhân vào xong tách )
\(=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}-\Sigma a^2+\Sigma\left(2a^2+bc\right)=\Sigma\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{b+c}+\Sigma\left(2a^2+bc\right)\) ( * )
Theo BĐT Vornicu Schur chứng minh được ( * ) không âm.
do đó : \(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\ge\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\)
Theo đề bài , cần chứng minh : \(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Kết hợp với dòng đầu tiên t cần c/m :
\(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma a+\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\right)\ge\frac{9}{4}\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)\)
Quy đồng lên, ta được :
\(\Sigma a^3\left(b+c\right)\ge2\Sigma\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\Sigma ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)đpcm
Ta có M=a(b+c)+3b(c+a)+5c(a+b)=a(3-a)+3b(3-b)+5c(3-c)=\(\frac{81}{4}\)-\(\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(b-\frac{3}{2}\right)^2+5\left(c-\frac{3}{2}\right)^2\)
Đặt x=\(\left|a-\frac{3}{2}\right|\),y=\(\left|b-\frac{3}{2}\right|\),z=\(\left|c-\frac{3}{2}\right|\)=>x+y+z\(\ge\left|a+b+c-\frac{9}{2}\right|=\frac{3}{2}\)
Khi đó M=\(\frac{81}{4}-\left(x^2+3y^2+5z^2\right)\)
Đưa thêm các tham số\(\alpha,\beta,\gamma>0\)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(x^2+\alpha^2\ge2x\alpha\)(1);\(3y^2+3\beta^2\ge6y\beta\)(2);\(5z^2+5\gamma^2\ge10z\gamma\)(3)
Suy ra: \(M-\alpha^2-3\beta^2-5\gamma^2\le\frac{81}{4}-2\left(x\alpha+3y\beta+5z\gamma\right)\)
Ta chọn \(\alpha=3\beta=5\gamma\)\(\Rightarrow M\le\frac{81}{4}+\alpha^2+3\beta^2+5\gamma^2-2\alpha\left(x+y+z\right)\)\(\le\frac{81}{4}+\alpha^2+3\beta^2+5\gamma^2-3a\)
Ta thấy dấu bằng các bất đẳng thức (1),(2),(3) xảy ra khi \(x=\alpha,y=\beta,z=\gamma\)\(\Rightarrow\alpha+\beta+\gamma=\alpha+\frac{\alpha}{3}+\frac{\alpha}{5}=x+y+z=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\alpha=\frac{45}{46}\),\(\beta=\frac{15}{46},\gamma=\frac{9}{46}\)
Vậy MaxM=\(\le\frac{81}{4}+\left(\frac{45}{46}\right)^2+3\left(\frac{15}{46}\right)^2+5\left(\frac{9}{46}\right)^2-3.\frac{45}{46}\)=\(\frac{432}{23}\)
A H B C
Xét \(\Delta\)ABH và \(\Delta\)CAH có:\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0;\widehat{BAH}=\widehat{HCA}\)
\(\Rightarrow\Delta ABH~\Delta CAH\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\Rightarrow AH^2=BH\cdot CH\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Lưu ý rằng 1001 = 7 * 11 * 13.
(i) Mod hoạt động 7
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 6 = 1 (mod 7)
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 6) ^ 500 = 1 ^ 500 = 1 (mod 7).
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 7.
(ii) Mod hoạt động 11
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 10 = 1 (mod 11)
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 10) ^ 300 = 1 ^ 300 = 1 (mod 11).
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 11.
(iii) Mod hoạt động 13
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 12 = 1 (mod 13)
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 12) ^ 250 = 1 ^ 250 = 1 (mod 13).
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 13.
Vì 1001 = 7 * 11 * 13 và 7, 11 và 13 là cặp tương đối nguyên tố,
chúng tôi kết luận rằng 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 1001
301 = 7 * 43,
vì vậy 300 ≡ -1 (mod 7)
Sau đó 300 ^ 3000 - 1 (-1) ^ 3000 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 7)
Vậy 7 chia 300 ^ 3000 - 1
297 = 27 * 11,
vì vậy 300 ≡ 3 (mod 11)
Sau đó,
300 ^ 3000 - 1 3 ^ 3000 - 1 ≡ (3 ^ 5) ^ 600 - 1 (mod 11)
Nhưng 3 ^ 5 = 243 = 22 * 11 + 1
so 3 ^ 5 1 (mod 11)
Sau đó
300 ^ 3000 - 1 (3 ^ 5) ^ 600 - 1 ≡ 1 ^ 600 - 1 ≡ 0 (mod 11)
Vì vậy, 11 chia 300 ^ 3000 - 1
Cuối cùng, 299 = 23 * 13,
vì vậy 300 1 (mod 13)
Sau đó
300 ^ 3000 - 1 1 ^ 3000 - 1 ≡ 0 (mod 13)
Vì vậy, 13 chia 300 ^ 3000 - 1
Vì 7, 11, 13 đều là số nguyên tố, nó theo đó là sản phẩm của họ, 1001 chia 300 ^ 3000 - 1