Question

[Quoc Tran Anh Le]

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Answer 1

[Hà Quang Minh]

Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).

Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A₁ cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.

Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa. 

Để chạy hết quãng đường OA₁ =100 (km), A-sin phải mất thời gian t₁ =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h). 

Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₁A₂ =1 (km).

Để chạy hết quãng đường A₁A₂ =1 (km), A-sin phải mất thời gian t₂ = \(\frac{1}{{100}}\) (h). 

Với thời gian t₂ rùa đã chạy thêm được quãng đường A₂A₃ = \(\frac{1}{{100}}\) (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường A_n-1A_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), A-sin phải mất thời gian t_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h). 

Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,...  là: 

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)

Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ. 

Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.