Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét VT của (1):
\(3VT\)
\(=\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}.\sqrt{2^2+2^2+1^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}.\sqrt{2^2+2^2+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2+4x^2+y^2}.\sqrt{2^2+2^2+1^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2+x^2+4y^2}.\sqrt{2^2+2^2+1^2}\)
\(\ge\left[2\left(x+y\right)+4x+y\right]+\left[2\left(x+y\right)+x+4y\right]=9x+9y\)
\(\Rightarrow VT\ge3x+3y=VT\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow x=y\)
Sau đó thay \(y=x\) vào pt (2) ta được:
\(\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^2+x+5\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-\sqrt{3x+1}\right)+\left(x-5-2\sqrt[3]{19x+8}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-3x-1}{2x^2+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{\left(x+5\right)^3-8\left(19x+8\right)}{\left(x-5\right)^2+2\left(x-5\right)\sqrt[3]{19x+8}+4\sqrt[3]{\left(19x+8\right)^2}}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(4x+1\right)}{2x^2+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{ \left(x-1\right)\left(x^2+16x-61\right)}{\left(x-5\right)^2+2\left(x-5\right)\sqrt[3]{19x+8}+4\sqrt[3]{\left(19x+8\right)^2}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\dfrac{4x+1}{2x^2+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{x^2+16x-61}{\left(x-5\right)^2+2\left(x-5\right)\sqrt[3]{19x+8}+4\sqrt[3]{\left(19x+8\right)^2}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
b)\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\right)^2=\left(3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)}=x^2+7xy+y^2\)
\(\Rightarrow\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)=\left(x^2+7xy+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right)\right\}\)
\(ĐK:x\ge\dfrac{1}{5};y\ge\dfrac{3}{8}\)
\(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{3x^2-3y^2}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}-\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}}=3\left(x+y\right)\\ \Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(\dfrac{x-y}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}-\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\\dfrac{x-y}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}-\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}}=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x-y=\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}-\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)=\dfrac{3\left(x^2-y^2\right)}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}}\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\dfrac{3\left(x+y\right)}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}}-1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Với \(x+y=0\Leftrightarrow x=-y\), thay vào PT 2
\(\Leftrightarrow3\left(-y\right)\left(y-7\right)+10=\sqrt{10\left(-y\right)-2}+2\sqrt{8y-3}\\ \Leftrightarrow3y\left(7-y\right)+10=\sqrt{-10y-2}+2\sqrt{8y-3}\)
ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}-10y-2\ge0\\8y-3\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y\in\varnothing\)
Với \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\), thay vào PT 2
\(\Leftrightarrow3x^2-21x+10=\sqrt{10x-2}+2\sqrt{8x-3}\left(x\ge\dfrac{3}{8}\right)\\ \Leftrightarrow3x^2-24x+9=\sqrt{10x-2}-\left(x+1\right)+2\sqrt{8x-3}-2x\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-8x+3\right)=\dfrac{-x^2+8x-3}{\sqrt{10x-2}+\left(x+1\right)}+\dfrac{2\left(-x^2+8x-3\right)}{\sqrt{8x-3}+x}\\ \Leftrightarrow\left(x^2-8x+3\right)\left(3+\dfrac{1}{\sqrt{10x-2}+x+1}+\dfrac{2}{\sqrt{8x-3}+x}\right)=0\)
Dễ thấy ngoặc lớn vô nghiệm với \(x\ge\dfrac{3}{8}>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x+3=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4+\sqrt{13}\left(n\right)\\x=4-\sqrt{13}\left(n\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=4+\sqrt{13}\\y=4-\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)
Vậy HPT có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(4+\sqrt{13};4+\sqrt{13}\right);\left(4-\sqrt{13};4-\sqrt{13}\right)\right\}\)
bạn làm nhầm rồi hay sao đấy
mình tìm ra cách rồi là
Từ pt(1) \(\sqrt{\left(2x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(2y+x\right)^2+\left(x-y\right)^2}=3\left(x+y\right)\)
Đặt a=2x+y;b=2y+x\(\Rightarrow\) 3(x+y)=a+b;x-y=a-b
rồi bình phương ra
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\\\sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5\end{matrix}\right.\)
Xét \(pt\left(1\right)\) dễ dàng suy ra \(x+y\ge0\)
\(VT=\sqrt{\left(x-y\right)^2+\left(2x+y\right)^2}+\sqrt{\left(x-y\right)^2+\left(2y+x\right)^2}\)
\(\ge\left|2x+y\right|+\left|2y+x\right|\ge3\left(x+y\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x,y\ge0\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(pt\left(2\right)\) ta được:
\(\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^2+x+5\)
\(\Leftrightarrow\left[\sqrt{3x+1}-\left(x+1\right)\right]+2\left[\sqrt[3]{19x+8}-\left(x+2\right)\right]=2x^2-2x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-x^2\right)\left[\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+2\cdot\dfrac{x+7}{\sqrt[3]{\left(19x+8\right)^2}+\left(x+2\right)\sqrt[3]{19x+8}+\left(x+2\right)^2}+2\right]=0\)
Do \(x;y\ge0\) nên pt trong ngoặc luôn dương
\(\Rightarrow x-x^2=0\Rightarrow x\left(1-x\right)=0\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Mà \(x=y\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=0\\x=y=1\end{matrix}\right.\) là nghiệm của hpt
1/ \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3=1\left(1\right)\\x^2y+2xy^2+y^3=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1). 2 - (2) ta được:
\(2x^3+y^3-x^2y-2xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(2x-y\right)=0\)
Đến đây dễ rồi nhé ^^
2/ Ta viết lại pt thứ 2 của hệ:
\(y^2-4\left(x+2\right)y+16+16x-5x^2=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-4\left(x+2\right)y+4\left(x+2\right)^2-9x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[y-2\left(x+2\right)\right]^2-\left(3x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(y-5x-4\right)=0\)
Bạn làm tiếp nhé!
3/ Ta viết lại pt thứ nhất của hệ
\(x^2-x\left(2y-3\right)+y^2-3y-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2y-3\right)+\dfrac{4y^2-12y+9}{4}-\dfrac{25}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{2y+3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-4\right)\left(x-y+1\right)=0\)
Bạn làm tiếp được chứ?
4/ Viết lại pt thứ 2 của hệ
\(\left(y+\sqrt{x}\right)^2-\left(y\sqrt{x}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x}-y\sqrt{x}\right)\left(y-\sqrt{x}+y\sqrt{x}\right)=0\)
Lấy 3 lần pt trên trừ pt dưới:
\(4x^2+4xy+y^2-6x-3y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-1\right)^2-\left(2x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-1\right)\left(2x+y-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1-2x\\y=2-2x\end{matrix}\right.\)
Thay vào 1 trong 2 pt ban đầu là xong