\(\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2015}+\dfrac{1}{2016}+\dfrac{...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 10 2018

Lời giải:

Ta thấy: \(f(x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}\Rightarrow f(1-x)=\frac{(1-x)^3}{1-3(1-x)+3(1-x)^2}=\frac{(1-x)^3}{3x^2-3x+1}\)

\(\Rightarrow f(x)+f(1-x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}+\frac{(1-x)^3}{3x^2-3x+1}=\frac{x^3+(1-x)^3}{3x^2-3x+1}=1\)

Do đó:

\(f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)=1\)

\(f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{2015}{2017}\right)=1\)

............

\(f\left(\frac{1008}{2017}\right)+f\left(\frac{1009}{2017}\right)=1\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow A=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{3}{2017}\right)+...f\left(\frac{2015}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\)

\(=\underbrace{1+1+1...+1}_{1008}=1008\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 11 2018

Lời giải:

Trong TH này ta thêm điều kiện $x$ là số nguyên dương.

\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)

\(=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}\)

Vậy \(\frac{x}{x+1}=\frac{\sqrt{2017-x}+2016}{\sqrt{2016-x}+2017}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{2016-x}+2017x=(x+1)\sqrt{2017-x}+2016(x+1)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{2016-x}=(x+1)\sqrt{2017-x}+2016-x\)

\(\Leftrightarrow x(\sqrt{2017-x}-\sqrt{2016-x})+\sqrt{2017-x}+2016-x=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{2017-x}+\sqrt{2016-x}}+\sqrt{2017-x}+(2016-x)=0\)

Hiển nhiên ta thấy:

\(\frac{x}{\sqrt{2017-x}+\sqrt{2016-x}}>0\)

\(\sqrt{2017-x}\geq 0\)

\(2016-x\geq 0\)

Do đó pt trên vô nghiệm

Tức là không tìm đc $x$ thỏa mãn.

Ta chứng minh được công thức \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a+b}\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{a^4+2a^3b+a^2b^2+2ab^3+b^4}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\left(\dfrac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\right)^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b}\)

\(A=\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2016^2}+\dfrac{1}{2017^2}}+\sqrt{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2017^2}+\dfrac{1}{2018^2}}\)

\(=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{1}{2016}-\dfrac{1}{2017}+1+\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2018}\)

=>A là số hữu tỉ (ĐPCM)

28 tháng 10 2017

bạn chứng minh bài toán tổng quát :  \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)rồi áp dụng vào giải bài này nhé 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2020

Lời giải:
Xét số hạng tổng quát:

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$

$=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$

$=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Do đó:

$S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2016}}-\frac{1}{\sqrt{2017}}$

$=1-\frac{1}{\sqrt{2017}}$

28 tháng 2 2017

(a - b)2 \(\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

=> \(\frac{1}{a^2+b^2}< \frac{1}{2ab}\left(a;b>0;a\ne b\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{2^2+3^2}+\frac{1}{3^2+4^2}+...+\frac{1}{2016^2+2017^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}\right)\)

\(< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\)

\(< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2017}\right)< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

17 tháng 11 2017

Từ \(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2017\)

\(\Leftrightarrow7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\le6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2017\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le2017\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(T=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2c^2+a^2\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{1^2}{b}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2b}+\dfrac{1^2}{c}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2c}+\dfrac{1^2}{a}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)\(=\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3c}\le\sqrt{\left(\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}\right)\left(\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}+\dfrac{9}{c^2}\right)}\)

\(\le\sqrt{\dfrac{1}{81}\cdot3\cdot9\cdot2017}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\)

Vậy \(T_{Max}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\) khi \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{3}{2017}}\)

So kimochiii~