Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
7. \(S=9y^2-12\left(x+4\right)y+\left(5x^2+24x+2016\right)\)
\(=9y^2-12\left(x+4\right)y+4\left(x+4\right)^2+\left(x^2+8x+16\right)+1936\)
\(=\left[3y-2\left(x+4\right)\right]^2+\left(x-4\right)^2+1936\ge1936\)
Vậy \(S_{min}=1936\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}3y-2\left(x+4\right)=0\\x-4=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{16}{3}\end{cases}}\)
8. \(x^2-5x+14-4\sqrt{x+1}=0\) (ĐK: x > = -1).
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+1\right)-4\sqrt{x+1}+4+\left(x^2-6x+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2+\left(x-3\right)^2=0\)
Với mọi x thực ta luôn có: \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2\ge0\) và \(\left(x-3\right)^2\ge0\)
Suy ra \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2+\left(x-3\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2=0\\\left(x-3\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = 3 (Nhận)
7. \(S=9y^2-12\left(x+4\right)y+\left(5x^2+24x+2016\right)\)
\(=9y^2-12\left(x+4\right)y+4\left(x+4\right)^2+\left(x^2+8x+16\right)+1936\)
\(=\left[3y-2\left(x+4\right)\right]^2+\left(x-4\right)^2+1936\ge1936\)
Vậy \(S_{min}=1936\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}3y-2\left(x+4\right)=0\\x-4=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{16}{3}\end{cases}}\)
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
E hổng biết cách này có đúng ko nữa:((
5
Ta có:\(S=\frac{2010}{x}+\frac{1}{2010y}+\frac{1010}{1005}\ge2\sqrt{\frac{2010}{x}\cdot\frac{1}{2010y}}+\frac{1010}{1005}\left(AM-GM\right)\)
\(=\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2010}{1005}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}+2=4\)( AM-GM ngược dấu )
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{2010}{4024}\)
1) \(\frac{9}{x^2}+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}=1\left(ĐK:x\ne0\right)\)
Đặt: \(\sqrt{2x^2+9}=a\left(a\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+9=a^2\Leftrightarrow9=a^2-2a^2\)
Khi đó pt đã cgo trở rhanhf:
\(\frac{a^2-2x^2}{x^2}+\frac{2x}{a}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{x}\right)^2-2+\frac{2x}{a}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{x}\right)^2+\frac{2x}{a}-3=0\) (*)
Đặt: \(\frac{a}{x}=b\) khi đó (*) trở thành:
\(b^2+\frac{2}{b}-3=0\)
\(\Leftrightarrow b^3+2-3b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b^3-b\right)-\left(2b-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(b-1\right)\left(b+1\right)-2\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(b^2+b-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}b-1=0\\b+2=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}b=1\\b=-2\end{array}\right.\)
Với: \(b=1\) ta có:
\(\frac{a}{x}=1\Leftrightarrow a=x\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+9}=x\Leftrightarrow2x^2+9=x^2\Leftrightarrow x^2+9=0\left(loai\right)\)
Với: \(b=-2\) ta có:
\(\frac{a}{x}=-2\)
\(\Leftrightarrow a=-2x\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+9}=-2x\)
\(\Leftrightarrow2x^2+9=4x^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2=9\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{9}{2}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{3}{\sqrt{2}}\\x=-\frac{3}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\)
Thử lại ta thấy: \(x=\frac{3}{\sqrt{2}}\left(ktm\right);x=-\frac{3}{\sqrt{x}}\left(tm\right)\)
Vaayk pt đã cho có nhgieemj là \(x=-\frac{3}{\sqrt{2}}\)
2) Do \(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2\\\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+1}=2-\left(\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
=\(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\) \(\ge\)\(2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)
\(\dfrac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân vế theo vế của 3 BĐT cùng chiều ta được
\(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\dfrac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1:
Để căn thức có nghĩa thì:
a)
\(-5x-10\geq 0\Leftrightarrow 5x+10\leq 0\Leftrightarrow x\leq -2\)
b)
\(x^2-3x+2\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x-1\geq 0; x-2\geq 0\\ x-1\leq 0; x-2\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x\geq 2\\ x\leq 1\end{matrix}\right.\)
c) \(\frac{x+3}{5-x}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+3\geq 0; 5-x>0\\ x+3\leq 0; 5-x< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} -3\leq x< 5\\ -3\geq x>5 (\text{vô lý})\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow -3\leq x< 5\)
d) \(-x^2+4x-4\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -(x^2-4x+4)\geq 0\Leftrightarrow -(x-2)^2\geq 0\)
Vì \((x-2)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow x=2\)
Ta có:
\(2009^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2009^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(sao\right)\)
\(0=\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)=2009-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{2009}{2}\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\frac{2009^2}{4}\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{2009^2}{4}\)
Thay vào ( sao ) ta có ngay \(A=a^4+b^4+c^4=2009^2-\frac{2009^2}{2}=\frac{2009^2}{2}\)
1) ĐK : \(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\4-x\ge0\\\left(x+1\right)\left(x-4\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\le4\\x\ge4hoacx\le-1\end{cases}}\)
<=> x = -1 hoặc x = 4
+) Với x= - 1 ta có: \(\sqrt{5}=5\)loại
+) Với x = 4 ta có: \(\sqrt{5}=5\)loai