Question

[Lương Khánh Linh]

Giải phương trình: x4−8x3+21x2−24x+9=0

Answer 1

[Nobi Nobita]

Ta thấy với \(x=0\)thay vào phương trình ta có:

\(0-8.0+21.0-24.0+9=9\ne0\)

\(\Rightarrow x=0\)không là nghiệm của phương trình

Khi đó, chia cả 2 vế cho \(x^2\)ta được: 

\(x^2-8x+21-24.\frac{1}{x}+\frac{9}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6+\frac{9}{x^2}\right)-\left(8x+24.\frac{1}{x}\right)+15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{3}{x}\right)^2-8\left(x+\frac{3}{x}\right)+15=0\)

Đặt \(x+\frac{3}{x}=t\)

\(\Rightarrow t^2-8t+15=0\)\(\Leftrightarrow t^2-3t-5t+15=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-3\right)-5\left(t-3\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-3=0\\t-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=5\end{cases}}\)

+) Nếu \(t=3\)\(\Rightarrow x+\frac{3}{x}=3\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+3}{x}=\frac{3x}{x}\)\(\Leftrightarrow x^2+3=3x\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+3=0\)\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)

Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)\(\forall x\)\(\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm

+) Nếu \(t=5\)\(\Leftrightarrow x+\frac{3}{x}=5\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2+3}{x}=\frac{5x}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2+3=5x\)\(\Leftrightarrow x^2-5x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{13}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{13}{4}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{5}{2}=\frac{-\sqrt{13}}{2}\\x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S=\left\{\frac{5-\sqrt{13}}{2};\frac{5+\sqrt{13}}{2}\right\}\)