Question

[Đức Tạ]

GIải phương trình sau:

x⁶ + x⁵+ x⁴ + x³ + x²+ x+1 =0

Answer 1

[Hoàng Phú Huy]

ọi phương trình là A 
A <=> 4x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 3 + 1 = 0 
<=> (4x^6 + 4x^5 + x^4) + (2x^4 + 4x^3 + 2x^2) + (2x^2 + 4x + 2) + x^4 + 2 = 0 
<=> [2.(2x^3 + x^2)^2 + 2.(√2.x^2 + √2 . x)^2 + 2.(x+1)^2 + x^4] + 2 = 0 
Xét tổng các số hạng trong ngoặc vuông, các số hạng đều có thừa số 2>0, thừa số còn lại là bình phương của 1 số sẽ > 0, còn số hạng ngoài ngoặc (số 2) hiển nhiên > 0. Từ đây suy ra phương trình A vô nghiệm. 

Còn cách nữa chứng minh phương trình trên vô nghiệm. Nhân cả 2 vế với x-1 rồi thu gọn, ta có phương trình: x^7 - 1 = 0 <=> x = 1. 
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình A, vậy ta có phương trình A vô nghiệm. 

(Bài tính thì theo bài của bạn, còn phần chứng minh năm ở bài 290, sách Nâng cao và phát triển toán 8 tập 2, trang 15) 

P/S: Đình Huy ơi, chỗ (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x.(x + 1/x) hình như phải là (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x.(x - 1/x) chứ nhỉ?

Answer 2

[Không Tên]

cách đơn giản hơn nhé.

Đặt    \(A=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^5\left(x+1\right)+x^3\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(x^5+x^3+x\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)+1=0\)

Ta có:   \(x^4+x^2+1=\left(x^2+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}>0\)       \(\forall x\)

Nếu  \(x\ge0\)thì  \(x+1>0\)\(\Rightarrow\)\(x\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)\ge0\)\(\Rightarrow\)\(A>1\)

Nếu  \(x=-1\) thì   \(x+1=0\)\(\Rightarrow\) \(A=1\)

Nếu  \(x< -1\) thì  \(x+1< 0\) \(\Rightarrow\) \(A>0\)

Vậy pt vô nghiệm

P/s: sai đâu m.n chỉ cho mk nhé