Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25(1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25
↔x2+2xy+y2+x2y2+2xy.1+1+2(x+y)(1+xy)−25=0x2+2xy+y2+x2y2+2xy.1+1+2(x+y)(1+xy)−25=0
↔(x+y)2+2(x+y)(1+xy)+(1+xy)2−25=0(x+y)2+2(x+y)(1+xy)+(1+xy)2−25=0
↔(x+y+1+xy+5)(x+y+1+xy−5)=0(x+y+1+xy+5)(x+y+1+xy−5)=0→[x+y+xy=−6x+y+xy=4[x+y+xy=−6x+y+xy=4
Nếu x+y+xy=-6→(x+1)(y+1)=-5(vì x,yϵ z nên x+1,y+1ϵ z)
ta có bảng:
x+1 1 5 -1 -5
y+1 -5 -1 5 1
x 0 4 -2 -6
y -6 -2 4 0
→(x,y)ϵ{(0;−6),(4;−2)...}
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2+4xy\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)=25\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+2xy+y^2+x^2y^2+2xy.1+1+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)-25=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(1+xy\right)^2-25=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y+1+xy+5\right)\left(x+y+1+xy-5\right)=0\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=-6\\x+y+xy=4\end{matrix}\right.\)
nếu \(x+y+xy=-6\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
( vì \(x,y\in Z\) nên \(x+1;y+1\in Z\) )
ta lập bảng :
| \(x+1\) | \(1\) | \(5\) | \(-1\) | \(-5\) |
| \(y+1\) | \(-5\) | \(-1\) | \(5\) | \(1\) |
| \(x\) | \(0\) | \(4\) | \(-2\) | \(-6\) |
| \(y\) | \(-6\) | \(-2\) | \(4\) | \(0\) |
\(\Rightarrow\) \(x;y\in\left\{\left(0,6\right);\left(4,-2\right);\left(-2,4\right);\left(-6,0\right)\right\}\)
c) Đặt \(a=\sqrt{x-4},b=\sqrt{y-4}\)với \(a,b\ge0\)thì pt đã cho trở thành:
\(2\left(a^2+4\right)b+2\left(b^2+4\right)a=\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\). chia 2 vế cho \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\)thì pt trở thành :
\(\frac{2b}{b^2+4}+\frac{2a}{a^2+4}=1\). Để ý rằng a=0 hoặc b=0 không thỏa mãn pt.
Xét \(a,b>0\). Theo BĐT AM-GM ta có: \(b^2+4\ge2\sqrt{4b^2}=4b,a^2+4\ge4a\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{2a}{4a}+\frac{2b}{4b}=1\), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a^2=4\\b^2=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2\Leftrightarrow x=y=8}\)
Vậy x=8,y=8 là nghiệm của pt
\(x^2-4xy+5y^2=2\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-4xy+5y^2-2x+2y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2-2\left(x-2y\right)+1+y^2-2y+1=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\)
Vì x,y là số nguyên nên ta có các trường hợp:
TH1: \(\hept{\begin{cases}x-2y-1=1\\y-1=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}}\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}x-2y-1=-1\\y-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)
TH3: \(\hept{\begin{cases}x-2y-1=-1\\y-1=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\)
TH4: \(\hept{\begin{cases}x-2y-1=1\\y-1=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}}\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(6;2\right),\left(0;0\right),\left(4;2\right),\left(2;0\right)\right\}\)
\(\)
1.
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\sqrt{2x^2+4x+5}-\left(2x+1\right)\left(x+3\right)+x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(\sqrt{2x^2+4x+5}-\left(x+3\right)\right)+x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x^2-2x-4\right)}{\sqrt{2x^2+4x+5}+x+3}+x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-4=0\\\dfrac{2x+1}{\sqrt{2x^2+4x+5}+x+3}+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x+1+\sqrt{2x^2+4x+5}+x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+4x+5}=-3x-4\) \(\left(x\le-\dfrac{4}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+4x+5=9x^2+24x+16\)
\(\Leftrightarrow7x^2+20x+11=0\)
2.
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{2x+7}+7\sqrt{2x+7}=x^2+2x+7+7x\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\sqrt{2x+7}+2x+7\right)+7\left(x-\sqrt{2x+7}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2x+7}\right)^2+7\left(x-\sqrt{2x+7}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2x+7}\right)\left(x+7-\sqrt{2x+7}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2x+7}\\x+7=\sqrt{2x+7}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Lời giải:
Lấy PT(1) trừ PT(2) ta thu được:
\(|y-3|+5y=8-1=7\)
\(\Leftrightarrow |y-3|=7-5y\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 7-5y\geq 0\\ \left[\begin{matrix} y-3=7-5y\\ y-3=5y-7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\leq \frac{7}{5}\\ \left[\begin{matrix} y=\frac{5}{3}\\ y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow y=1\)
Thay vào PT(2) suy ra:
\(|x+2|=5y+1=5.1+1=6\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+2=6\\ x+2=-6\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=4\\ x=-8\end{matrix}\right.\)
Vậy \((x,y)\in\left\{(4,1); (-8,1)\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left|x-1+\left(x-2y\right)^2+\left(y-3z\right)^2\right|=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\)
Để cho gọn, đặt \(\left(x-2y\right)^2+\left(y-3z\right)^2=a\ge0\)
\(\Rightarrow\left|x-1+a\right|=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\)
- Nếu \(x-1>0\Rightarrow VT=\left|x-1+a\right|>x-1\)
Mà \(\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\ge0\Rightarrow VP=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\le x-1\)
\(\Rightarrow VT>VP\Rightarrow\) pt vô nghiệm
- Nếu \(x-1< 0\Rightarrow VT=\left|x-1+a\right|\ge0\)
\(VP=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|< 0\) do \(\left\{{}\begin{matrix}x-1< 0\\\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT>VP\Rightarrow\) pt vô nghiệm
Vậy \(x=1\), khi đó pt trở thành:
\(\left|\left(1-2y\right)^2+\left(y-3z\right)^2\right|=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2y=0\\y-3z=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
Vậy pt đã cho có bộ nghiệm duy nhất \(\left(x;y;z\right)=\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{6}\right)\)
Biện luận thiếu 1 chút rồi, ở dòng 4 có dấu "=", nên sửa từ dòng 4 đến dòng 6 bằng đoạn này:
\(x-1>0\Rightarrow VT=\left|x-1+a\right|\ge x-1\)
\(VP=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\le x-1\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x>1\\a=0\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\\left(x-2y\right)^2=0\\\left(y-3z\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)