Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1.
Điều kiện: \(x^2\ge2y+1\)
Từ $(1)$ ta được \(\left(x^2-2y\right)\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2y\left(L\right)\\x=y\end{matrix}\right.\)
Khi đó $(2)$ \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-\left(x-2\right)=0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x - 1} + \dfrac{{{x^3} - 14 - {{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right) + {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} + \dfrac{{6{x^2} - 12x - 6}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} \left[ {1 + \dfrac{{3\sqrt {{x^2} - 2x - 1} }}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x - 1} = 0 \end{array} \)
Từ đó ta được \(x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\\x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=$\(\left\{\left(1+\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right),\left(1-\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)\right\}\)
Câu 2.
Điều kiện: \(y \ge 0,x \ge -2\)
Từ phương trình $(1)$ tương đương:
$$2\sqrt{x+y^2+y+3}=3\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$$
Ta có:
$$3\sqrt y + \sqrt {x + 2} = \sqrt 3 .\sqrt {3y} + 1.\sqrt {x + 2} \le 2\sqrt {3y + x + 2}$$
Ta chứng minh:
$$2\sqrt {3y + x + 2} \le 2\sqrt {x + {y^2} + y + 3} \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$$
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$ và \(\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\Rightarrow x=-1\)
Thay vào phương trình $(2)$ thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm hệ phương trình $(x;y)=(-1;1)$
có : \(\left\{{}\begin{matrix}x^3-8x=y\left(y^2+2\right)\\x^2=3\left(y^2+2\right)\end{matrix}\right.\)(1)
có x=0 không là nghiệm của hệ (1)
chia vế theo vế cuả hệ (1) ta được:
\(\frac{x^3-8x}{x^2}=\frac{y\left(y^2+2\right)}{3\left(y^2+2\right)}\)
hay \(\frac{x^2-8}{x}=\frac{y}{3}\)
suy ra \(\frac{3x^2-24}{x}=y\)(2)
thay (2) vào phương trình \(x^2=3\left(y^2+2\right)\)có : \(x^2=3\left(\frac{\left(3x^2-24\right)^2}{x^2}+2\right)\)
suy ra \(^{x^4=27x^4-426x^2+1728}\) hay \(13x^4-213x^2+864=0\left(3\right)\)
đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)
phương trình (3) trở thành
\(13t^2-213t+864=0\)
suy ra : \(\left(t-9\right)\left(13t-96\right)=0\)
suy ra : \(\left[{}\begin{matrix}t=9\\t=\frac{96}{13}\end{matrix}\right.\)
suy ra: \(\left[{}\begin{matrix}x^2=9\\x^2=\frac{96}{13}\end{matrix}\right.\)
\(\left[{}\begin{matrix}x=3\Rightarrow y=1\\x=-3\Rightarrow y=-1\\x=-\sqrt{\frac{96}{13}}=-\frac{4\sqrt{78}}{13}\Rightarrow\\x=\sqrt{\frac{96}{13}}=\frac{4\sqrt{78}}{13}\Rightarrow y=\frac{-\sqrt{78}}{13}\end{matrix}\right.y=\frac{\sqrt{78}}{13}}\)
vậy ...
Bác cho e hỏi Trong hệ pt thì cũng được chia hay nhân vế với vế ạ?
1/ \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3=1\left(1\right)\\x^2y+2xy^2+y^3=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1). 2 - (2) ta được:
\(2x^3+y^3-x^2y-2xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(2x-y\right)=0\)
Đến đây dễ rồi nhé ^^
2/ Ta viết lại pt thứ 2 của hệ:
\(y^2-4\left(x+2\right)y+16+16x-5x^2=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-4\left(x+2\right)y+4\left(x+2\right)^2-9x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[y-2\left(x+2\right)\right]^2-\left(3x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(y-5x-4\right)=0\)
Bạn làm tiếp nhé!
3/ Ta viết lại pt thứ nhất của hệ
\(x^2-x\left(2y-3\right)+y^2-3y-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2y-3\right)+\dfrac{4y^2-12y+9}{4}-\dfrac{25}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{2y+3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-4\right)\left(x-y+1\right)=0\)
Bạn làm tiếp được chứ?
4/ Viết lại pt thứ 2 của hệ
\(\left(y+\sqrt{x}\right)^2-\left(y\sqrt{x}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x}-y\sqrt{x}\right)\left(y-\sqrt{x}+y\sqrt{x}\right)=0\)
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-8x=y(y^2+2)\\ x^2=3(y^2+2)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 3(x^3-8x)=x^2y\)
\(\Leftrightarrow x[3(x^2-8)-xy]=0\)
Vì \(x^2=3y^2+6\geq 6>0\Rightarrow x\neq 0\)
Do đó suy ra \(3(x^2-8)-xy=0\Rightarrow y=\frac{3(x^2-8)}{x}\)
Thay vào pt thứ 2:
\(x^2-3\frac{9(x^2-8)^2}{x^2}=6\)
Đặt $x^2=t$ thì \(t^2-27(t-8)^2=6t\)
\(\Rightarrow t=9; t=\frac{96}{13}\)
Nếu \(t=9\Rightarrow x=\pm 3\)
\(x=3\rightarrow y=1; x=-3\rightarrow y=-1\)
Nếu \(t=\frac{96}{13}\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{96}{13}}\)
\(x=\sqrt{\frac{96}{13}}\rightarrow y=-\sqrt{\frac{6}{13}}; x=-\sqrt{\frac{96}{13}}\rightarrow y=\sqrt{\frac{6}{13}}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-8x=y^3+2y\left(1\right)\\x^2-3y^2=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ thây y = 0 không phải nghiệm của hệ:
\(\Rightarrow3\left(1\right)-y\left(2\right)=x\left(3x^2-xy-24\right)=0\)
Tơi đây kêt hợp vơi (2) xẽ co hệ đẳng câp rồi nên làm nôt nha.
Bài 1:
Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)
Khi đó hệ PT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)
Có: \(a^4+b^4=81\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)
\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)
Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$
$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$
Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$
Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại
Vậy......
Bài 2:
ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$
$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$
Nếu $(a,b)=(2,1)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)
$y=1\rightarrow x=3$
$y=-1\rightarrow y=5$
Nếu $(a,b)=(1,2)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)
\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)
Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$
Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$
Vậy...........
Hệ\(\Leftrightarrow\begin{cases} x^3-y^3=8x+2y\\ x^2-3y^2=6 \end{cases}\)
Dễ thấy x=0 ko thỏa mãn hệ. Xét x khác 0, đặt y=kx thì
\(\begin{cases} x^3(1-k^3)=x(8+2k)\\ x^2(1-3k^2)=6 \end{cases}\Rightarrow 6(1-k^3)=(8+2k)(1-3k^2)\)
Từ đó tìm đc k và suy ra x,y nhé!