NQ
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
9 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=3x\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}y^2+2\sqrt{y}\ge3y\\z^2+2\sqrt{z}\ge3z\end{cases}}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\). Suy ra
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+xz\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x=y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy hệ pt có nghiệm là (x;y;z)=(1;1;1)
NQ
2
7 tháng 11 2018
ĐKXĐ: x > y
Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4\\x^2+y^2=18\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}+x-y=16\\x^2+y^2=18\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\sqrt{x^2-y^2}=16-2x\\x^2+y^2=18\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2-y^2}=8-x\\x^2+y^2=18\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8-x\ge0\\x^2-y^2=\left(8-x\right)^2\\x^2+y^2=18\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\x^2-y^2=64-16x+x^2\\x^2+y^2=18\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\-y^2=64-16x\\x^2+y^2=18\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\y^2=16x-64\\x^2+y^2-y^2=18-16x+64\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\left(1\right)\\y^2=16x-64\left(2\right)\\x^2+16x-82=0\left(3\right)\end{cases}}\)
Giải (3) \(x^2+16x-82=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+16x+64=146\)
\(\Leftrightarrow\left(x+8\right)^2=146\)
\(\Leftrightarrow x+8=\pm\sqrt{146}\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{146}-8\)(Thỏa mãn (1) )
Thay vào (2) tìm được y rồi so sánh ĐKXĐ => KL
7 tháng 11 2018
@Fabulous Joker cảm ơn ông nhiều lắm
mai tôi phải nộp bài r
Bổ sung :\(x;y;z\inℤ\)
Chú ý là cách làm này của mk chả bt có đúng ko nữa vì nó hơi mang tính ép buộc ^^
Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}x+y+z=5\left(1\right)\\xy+yz+zx=8\left(2\right)\end{cases}}\)
Bình phương 2 vế của (1) ta đc \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=25\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=25\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.8=25\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=9=8+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz+2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
Vì x;y;z là các số nguyên nên\(\left(x-y\right)^2;\left(y-z\right)^2;\left(x-z\right)^2\)là các số chính phương
Mà 2 là tổng của 3 số chính phương là 0 ; 1 và 1
Nên\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\)và các hoán vị của chúng
Xét 3 t/h . Mk sẽ làm hộ 1 t/h còn 2 t/h còn lại làm tương tự
*T/H 1:\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=\pm\\x-z=\pm1\end{cases}1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=\pm1\end{cases}}}\)
-Nếu \(\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=y\\z=y-1\end{cases}}\)
Thay vào pt (1) ban đầu được y+y+y-1=5
<=> 3y = 6
<=> x=y=2
=> z = 1
- Nếu \(\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=-1\end{cases}}\)tương tự t/h trên
Các t/h còn lại làm tương tự t/h 1 .Bài này dài phết :)
Chết viết thiếu cái dòng "và các hoán vị của chúng "
Dòng đấy viết thế này :'
Nên \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\)và các hoán vị của chúng
Nếu bn ko bt 2 T/H còn lại là gì thì đây : T/H2\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\)và T/H3 \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=0\end{cases}}\)