Câu hỏi của Lâm Minh Anh

Question

giải giúp mình

cho 2 số a, b thỏa mãn a^2 + b^2=1. tìm gtnn gtln của A = a^6 + b^6

Vũ Trọng Nghĩa · Accepted Answer

$A=a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right).\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)=a^4-a^2b^2+b^4$

$=\left(a^2+b^2\right)-3a^2b^2=1-3a^2b^2$

ta có : $\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow1\ge2ab\Rightarrow1\ge4a^2b^2\Rightarrow\frac{3}{4}\ge3a^2b^2$

=> $\frac{-3}{4}\le-3a^2b^2$

từ đó: $A=1-3a^2b^2\le1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Vậy max A = 1/4 khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Câu trả lời:

$A=a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right).\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)=a^4-a^2b^2+b^4$

$=\left(a^2+b^2\right)-3a^2b^2=1-3a^2b^2$

ta có : $\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow1\ge2ab\Rightarrow1\ge4a^2b^2\Rightarrow\frac{3}{4}\ge3a^2b^2$

=> $\frac{-3}{4}\le-3a^2b^2$

từ đó: $A=1-3a^2b^2\le1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Vậy max A = 1/4 khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}.$