Question

[Châu Phú Tiêu]

Giải giúp mình bài hình này với 

Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội tiếp (O) . Gọi E ,F lần lượt là hình chiếu của B và C lên AC và AB .Tiếp tuyến A của đường tròn (O) cắt CB tại P . Đường thẳng qua A song song BC cắt EF tại Q . AM là trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC .Chứng minh PQ vuông góc AM.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Qua P dựng đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt EF tại Q'. Ta sẽ chỉ ra Q trùng Q'.

Thật vậy: Ta có ^BFC = ^BEC = 90⁰ => Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn (BC)

=> ^AFE = ^ACB = ^BAP (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây) => EF // AP (2 góc so le trong bằng nhau)

Gọi H là trực tâm \(\Delta\)ABC, EF cắt BC tại R, AR cắt lại (O) ở S, kẻ đường kính AT của đường tròn (O)

Khi đó dễ thấy tứ giác BHCT là hình bình hành. Do M là trung điểm BC nên H,M,T thẳng hàng

Áp dụng hệ thức lượng trong đường tròn có: RF.RE = RB.RC = RS.RA => A,S,E,F cùng thuộc 1 đường tròn

Mà dễ có A,E,H,F cùng nằm trên đường tròn (AH) nên A,S,F,H,E cùng nằm trên (AH)

=> ^ASH = 90⁰ => SH vuông góc AS. Lại có ST vuông góc AS nên S,H,T thẳng hàng

Kết hợp H,T,M thẳng hàng suy ra S,H,M thẳng hàng. Từ đây MH vuông góc AR tại S

Cũng có AH vuông góc RM nên H là trực tâm \(\Delta\)RAM => RH vuông góc AM

Mà PQ' cũng vuông góc AM nên RH // PQ'. Nếu ta gọi BE giao PQ' tại G thì RH // PG

Áp dụng ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{BH}{HG}=\frac{BR}{RP}\)(Vì PH // PG) \(=\frac{BF}{FA}\)(Vì EF // AP)

Do đó AG // FH (ĐL Thales đảo) hay CH // AG => \(\frac{EC}{EA}=\frac{EH}{EG}\)(Hệ quả ĐL Thales)

Chú ý RH // PQ' hay RH // GQ' suy ra \(\frac{EH}{EG}=\frac{ER}{EQ'}\).Từ đó \(\frac{EC}{EA}=\frac{ER}{EQ'}\)=> AQ' // CR (ĐL Thales đảo)

Khi đó, đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại Q'. Do vậy Q' trùng Q

Điều này tức là PQ vuông góc AM (đpcm).