K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2020
a/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\ne\left\{3;11\right\}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\sqrt{x-2}=t\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{3}{t-1}\ge\frac{5}{t-3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{t-1}-\frac{5}{t-3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3t-9-5t+5}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-2t-4}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{t+2}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\le0\)
\(\Leftrightarrow1< t< 3\)
\(\Rightarrow1< \sqrt{x-2}< 3\)
\(\Leftrightarrow1< x-2< 9\Rightarrow3< x< 11\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2020
b/
ĐKXĐ: \(x\ge3\)
- Với \(x=3\) BPT thỏa mãn
- Với \(x>3\Rightarrow\sqrt{x-3}>0\) BPT tương đương
\(x-\frac{1}{2-x}\le0\Leftrightarrow x+\frac{1}{x-2}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+1}{x-2}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{x-2}\le0\Rightarrow\) không tồn tại x thỏa mãn
Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=3\)
1 tháng 2
Đặt \(x^2+3x=a\left(a>=-\dfrac{9}{4}\right)\)
BPT sẽ trở thành \(a>=2+\sqrt{5a+14}\)
=>\(a-2>=\sqrt{5a+14}\)
=>\(\sqrt{5a+14}< =a-2\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-2>=0\\5a+14< =\left(a-2\right)^2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a>=2\\5a+14-a^2+4a-4< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a>=2\\-a^2+9a+10< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a>=2\\a^2-9a-10>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a>=2\\\left(a-10\right)\left(a+1\right)>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a>=2\\\left[{}\begin{matrix}a>=10\\a< =-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
=>a>=10
=>\(x^2+3x>=10\)
=>\(x^2+3x-10>=0\)
=>(x+5)(x-2)>=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x>=2\\x< =-5\end{matrix}\right.\)
NL
1
HP
25 tháng 3 2021
ĐK: \(x\ge1;x\le-2\)
\(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-x}\le\sqrt{x^2+x-2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-x-1+2\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(x^2-x\right)}\le x^2+x-2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+2\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(x^2-x\right)}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+2\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(x^2-x\right)}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\\left(x^2-1\right)\left(x^2-x\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=1\left(tm\right)\)
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x=1\)
11 tháng 6 2021
`sqrt{x-2}-2>=sqrt{2x-5}-sqrt{x+1}`
`đk:x>=5/2`
`bpt<=>\sqrt{x-2}+\sqrt{x+1}>=\sqrt{2x-5}+2`
`<=>x-2+x+1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-5+4+4\sqrt{2x-5}`
`<=>2x-1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-1+4\sqrt{2x-5}`
`<=>2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=4\sqrt{2x-5}`
`<=>sqrt{x^2-x-2}>=2sqrt{2x-5}`
`<=>x^2-x-2>=4(2x-5)`
`<=>x^2-x-2>=8x-20`
`<=>x^2-9x+18>=0`
`<=>(x-3)(x-6)>=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 3\end{array} \right.\)
Kết hợp đkxđ:
`=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\\dfrac52 \le x \le 3\end{array} \right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2021
ĐKXĐ: \(x^2\ge2\)
Đặt \(\sqrt{x^2-2}=a\ge0\)
BPT tương đương: \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+11}}\le\dfrac{2}{a+1}\)
Ta có: \(VT^2\le2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+11}\right)< 2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+1}\right)=\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\)
Mặt khác ta có: \(\left(a-1\right)^4\ge0\Leftrightarrow a^4-4a^3+6a^2-4a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow3a^4+10a^2+3\ge2a^4+4a^3+4a^2+4a+2\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT^2< \dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\Rightarrow VT< \dfrac{2}{a+1}\)
\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(a\ge0\) hay nghiệm của BPT là \(x^2\ge2\)
QD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 2 2022
ĐKXĐ: \(x\ge3\)
\(\sqrt{x-1}>\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}\)
\(\Leftrightarrow x-1>2x-5+2\sqrt{x^2-5x+6}\)
\(\Leftrightarrow4-x>2\sqrt{x^2-5x+6}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-x\ge0\\\left(4-x\right)^2>4\left(x^2-5x+6\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le4\\3x^2-12x+8< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{6-2\sqrt{3}}{3}< x< \dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}\)
Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow3\le x< \dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2021
ĐKXĐ: \(x>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x^2+1\right)}}-\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}\left(\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x}}-1\right)+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x}}.\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\) (luôn đúng \(\forall x>0\))
Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(x>0\)
Xét hàm \(y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\) . Ta có:
\(y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=0\Leftrightarrow x=0\) ( bạn có thể giải PT này bằng cách quy đồng kết hợp với liên hợp)
Ta thấy rằng \(x\mapsto \infty \Rightarrow y\mapsto +\infty \) nên hàm không tồn tại max. Do đó hàm $y$ đạt min tại $x=0$, tức là \(y_{min}=2\)
Suy ra BPT trên luôn đúng với mọi $x$ thuộc tập xác định, tức là với mọi $x\in\mathbb{R}$