Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}5^{2x+1}\Rightarrow f'\left(x\right)=5^{2x+1}\ln5\)
\(g\left(x\right)=5^x+4x\ln5\Rightarrow g'\left(x\right)=5^x\ln5+4\ln5=\left(5^x+4\right)\ln5\)
\(f'\left(x\right)< g'\left(x\right)\Leftrightarrow5^{2x+1}\ln5< \left(5^x+4\right)\ln5\)
\(\Leftrightarrow5^{2x+1}< 5^x+4\)
\(\Leftrightarrow5\left(5^x\right)^2-5^x-4< 0\)
\(\Leftrightarrow-\frac{4}{5}< 5^x< 1=5^0\)
\(\Leftrightarrow x< 0\) là nghiệm của bất phương trình
Điều kiện \(x>0\)
Ta có : \(f\left(x\right)=x^3\ln x\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2\ln x+x^3\frac{1}{x}=x^2\left(3\ln x+1\right)\)
\(f'\left(x\right)+\frac{1}{x}f\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^2\left(3\ln x+1\right)+\frac{1}{x}x^3\ln x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(4\ln x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=0\) loại
hoặc : \(\Leftrightarrow\ln x=-\frac{1}{4}=\ln e^{-\frac{1}{4}}\)
\(\Leftrightarrow x=e^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}}\) là nghiệm của phương trình
\(F\left(x\right)=\int\left(e^x.ln\left(ax\right)+\dfrac{e^x}{x}\right)dx=\int e^xln\left(ax\right)dx+\int\dfrac{e^x}{x}dx=\int e^xlnxdx+\int\dfrac{e^x}{x}dx+\int e^x.lna.dx\)
Xét \(I=\int e^xlnxdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=lnx.e^x-\int\dfrac{e^x}{x}dx\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=e^x.lnx+e^x.lna+C\)
\(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=e^{\dfrac{1}{a}}ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+e^{\dfrac{1}{a}}.lna+C=0\Rightarrow C=0\)
\(F\left(2020\right)=e^{2020}ln\left(2020\right)+e^{2020}.lna=e^{2020}\)
\(\Rightarrow ln\left(2020a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{e}{2020}\)
a) Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+2>0\\x-1>0\\x>0\end{matrix}\right.\)
Hay là: \(x>1\)
Khi đó biến đổi pương trình như sau:
\(\ln\dfrac{4x+2}{x-1}=\ln x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4x+2}{x-1}=x\)
\(\Leftrightarrow4x+2=x\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\\x_2=\dfrac{5-\sqrt{33}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\)
b) Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+1>0\\x>0\end{matrix}\right.\)
Hay là: \(x>0\)
Biến đổi phương trình như sau:
\(\log_2\left(3x+1\right)\log_3x-2\log_2\left(3x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left(3x+1\right)\left(\log_3x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\log_2\left(3x+1\right)=0\\\log_3x=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+1=2^0\\x=3^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loại\right)\\x=9\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm là x = 9.
Điều kiện \(x>5\), ta có : \(f\left(x\right)=x+\ln\left(x-5\right)\Rightarrow f'\left(x\right)=1+\frac{1}{x-5}=\frac{x-4}{x-5}\)
\(g\left(x\right)=\ln\left(x-1\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\)
Với \(x>5\), \(f'\left(x\right)>g'\left(x\right)\Leftrightarrow\frac{x-4}{x-5}>\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-1\right)>x-5\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+9>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2>0\) (*)
Do (*) đúng với mọi \(x>5\) nên nghiệm của bất phương trình là \(x>5\)