Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)
Vật bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Ta có \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\Rightarrow4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\)
Ta lại có \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2}=2x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)
Suy ra \(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)
Từ giả thiết \(4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\to4x+4\sqrt{xyz}+yz=16-4\left(y+z\right)+yz=\left(4-y\right)\left(4-z\right)\). Suy ra \(\left(4-y\right)\left(4-z\right)=\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)^2\to\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)=2x+\sqrt{xyz}\).
Tương tự ta thiết lập hai đẳng thức nữa \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz},\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}.\)
Cộng lại ta được
\(A=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2\times4=8.\)
Vậy \(A=8.\)
Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.
2/ \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx+xyz-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=0\)
\(x^2-\sqrt{x+5}=5\)
\(\Leftrightarrow x^2-5=\sqrt{x+5}\)
\(\Leftrightarrow x^4-10x^2+25=x+5\)
\(\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-5\right)\left(x^2+x-4\right)=0\)
Bài này = 8 ak
\(\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{27}\left(1\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le\frac{8}{27}\left(2\right)\)
Từ (1);(2) =>k=\(\frac{8}{729}\Rightarrow9^3\cdot k=8\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
Cho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nhaCho mình xin lỗi nha