Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{xy}}=2\)
Vậy \(M\text{inS}=2\) với mọi \(x;y\ge1\)
(x+y)^2/x^2+y^2+(x+y)^2/xy>=(x+y)^2/x^2+y^2+xy
Dấu = xảy ra khi (x+y)^2/2xy=x/2y+y/2x+1
=>Min=2
Đặt \(\left(x;2y;3z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=2\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c\left(a+b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a\left(a+b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b\left(a+b+c\right)}}\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(S\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\Rightarrow x;y;z\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$S=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+2+\frac{x^2+y^2}{xy}$
$=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}$
$\geq 3+2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}+\frac{2xy}{2xy}$
$=3+2+1=6$
Vậy $S_{\min}=6$ khi $x=y$
\(x\ge xy+1\Rightarrow1\ge y+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{3x^2-xy+y^2}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+2\left(\dfrac{y}{x}\right)+1}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\dfrac{y}{x}+3}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=t\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{9}\)
\(Q^2=\dfrac{\left(4t-1\right)\left(t+6\right)}{9\left(t^2-t+3\right)}+\dfrac{5}{9}\le\dfrac{5}{9}\)
\(\Rightarrow Q_{max}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) khi \(t=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(S=xy+\dfrac{1}{xy}=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\)
Mà \(xy+\dfrac{1}{16xy}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{15}{16xy}=\dfrac{15}{16}\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{15}{16}\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{15}{4}\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\) \(\Rightarrow S_{min}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}xy=\dfrac{1}{16xy}\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\dfrac{1}{4}\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
À quên mất câu b/, làm xong câu a xong bấm trả lời luôn :D
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy>0\Rightarrow S=xy+\dfrac{1}{xy}>\dfrac{1}{xy}\)
Mà \(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{15}{4}\) và \(xy>0\Rightarrow\dfrac{1}{xy}< \dfrac{1}{0}=\infty\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\) chỉ có GTNN, không có GTLN \(\Rightarrow S\) không có GTLN, S sẽ càng dần tới dương vô cực khi một trong 2 giá trị x hoặc y dần tới 0.