Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=\frac{a_3-3}{98}=...=\frac{a_{100}-100}{1}=\frac{a_1-1+a_2-2+a_3-3+...+a_{100}-100}{100+99+98+...+1}\)
\(=\frac{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}\right)-\left(1+2+3+...+100\right)}{5050}=\frac{10100-5050}{5050}=1\)
\(\text{Suy ra : }\frac{a_1-1}{100}=1\Rightarrow a_1-1=100\Rightarrow a_1=101\)
\(\frac{a_2-2}{98}=1\Rightarrow a_2-2=98\Rightarrow a_2=101\)
..................
tương tự như thế ta được;
\(a_1=a_2=...=a_{100}=101\)
Khi chia bốn số a1 , a2 , a3 , a4 cho số 3 thì theo nguyên lý Direclet sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư
=> Hiệu của chúng chia hết cho 3 => Tích đã cho chia hết cho 3.
Ta sẽ chứng minh tích đã cho cũng chia hết cho 4.
Xét tính chẵn, lẻ của bốn số đã cho, có 3 khả năng sau:
TH1: cả 4 số đều chẵn (hoặc đều lẻ), khi đó hiệu của từng cặp hai số chia hết cho 2 => Tích đã cho chia hết cho 26 => Tích chia hết cho 4
TH2: Có 3 số chẵn (hoặc lẻ) còn 1 số còn lại là lẻ (hoặc chẵn). Giả sử 3 số chẵn (hoặc lẻ) đó là x, y và z thì x - y và x - z đều chia hết cho 2 => Tích đã cho chia hết cho 4
TH3: Có 2 số chẵn (giả sử là x và y) và 2 số lẻ (giả sử là z và t), khi đó x - y và z - t đều chia hết cho 2 => Tích đã cho chia hết cho 4.
KL: Tích đã cho chia hết cho 3 và 4 => Nó chia hết cho 12.
a) Giả sử không có 2 số nào bằng nhau trong các số nguyên dương đẫ cho.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a1< a2< a3< a4< ...< a100\)
Nên : \(a1\ge1;a2\ge2;a3\ge3;...;a100\ge100\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+99.\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)
( \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)có 99 phân số 1/2 )
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{101}{2}\)trái với đề bài ra là \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\ge\frac{101}{2}\)
Vậy tồn tại trong 100 số đã cho ít nhất 2 số bằng nhau ( điều phải chứng minh ).
b) Giả sử trong 100 số trên chỉ tồn tại 2 số bằng nhau ( đã chứng minh 2 số bằng nhau ở phần a)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử:
b) Làm tiếp : Giả sử a1=a2.
Nên : \(a1=a2>a3>a4>...>a100\)( áp dụng theo phần a)
\(\Rightarrow a1=a2\ge1;a3\ge2;a4\ge3;...;a100\ge99\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{2}{a1}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}=\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}\)
Mặt khác, ta có :\(\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}< 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}=\frac{5}{2}+\frac{97}{3}=\frac{209}{6}\)
( \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}\)có 97 phân số 1/3 )
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{209}{6}< \frac{303}{6}=\frac{101}{2}\)trái với đề bài
Tương tự giả sử lấy bất kỳ 2 số bằng nhau khác tổng \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\)vẫn nhỏ hơn 101/2
Vậy tồn tại trong 100 số đã cho có ít nhất 3 số bằng nhau ( điều phải chứng minh).
Chứng minh bằng phản chứng :
Giả sử \(a_1\ne a_2\ne a_3\). Vì vai trò của \(a_1,a_2,a_3\) là bình đẳng nên ta có thể giả sử \(a_1>a_2>a_3\), khi đó ta có
\(\frac{\left|a_1-a_2\right|}{m_1}=\frac{\left|a_2-a_3\right|}{m_2}=\frac{\left|a_3-a_1\right|}{m_3}\)
\(\Rightarrow\frac{a_1-a_2}{m_1}=\frac{a_2-a_3}{m_2}=\frac{a_1-a_3}{m_3}=\frac{a_1-a_2+a_2-a_3+a_1-a_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{2\left(a_1-a_3\right)}{m_1+m_2+m_3}\)
\(\Rightarrow a_1-a_3=\frac{2m_3\left(a_1-a_3\right)}{m_1+m_2+m_3}\). Vì \(a_1>a_3\) nên ta chia cả hai vế đẳng thức cho \(a_1-a_3\) được \(\frac{2m_3}{m_1+m_2+m_3}=1\Rightarrow m_1+m_2+m_3=2m_3\). Dễ thấy điều vô lí vì vế trái luôn là một số lẻ , trong khi vế phải luôn là số chẵn => mâu thuẫn. => điều giả sử sai
=> Điều phải chứng minh.