Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=a^2-4b+b^2-4c+c^2-4a=a^2+b^2+c^2-48\)
Dễ thấy:\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=48\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3\ge0\)
Khi đó có ít nhất một phương trình có nghiệm
Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình
Ta có:\(x_0^2+ax_0+bc=0;x_0^2+bx_0+ca=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)x_0=c\left(a-b\right)\)
Mà \(a\ne b\Rightarrow x_0=c\)
Gọi các nghiệm của phương trình x2 +ax + bc = 0 và x2 + bx + ac = 0 là x1 và x2
Theo Viet ta có:\(x_0x_1=bc;x_0x_2=ca\)
Mà \(x_0=c\ne0\Rightarrow x_1=b;x_2=a\)
Do b;c là các nghiệm của phương trình x2 +ax + bc = 0 nên b+c=-a => -c=a+b => a,b là các nghiệm của phương trình:
x2 - ( a+b ) x + ab = 0 hay x2 + cx + ab = 0
Gọi nghiệm chung của 2 phương trình là m
Ta có:\(m^2+am+1=0;m^2+bm+17=0\)
\(\Rightarrow2m^2+m\left(a+b\right)+18=0\)
Xét \(\Delta=\left(a+b\right)^2-144\ge0\Rightarrow\left|a+b\right|\ge12\)
Mà \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\ge12\)
Xét \(a+b=12\Rightarrow.....\)
Xét \(a+b=-12\Rightarrow....\)
Mấy chỗ ..... bạn tự làm nốt
a) Xét phương trình thứ nhất, có \(\Delta_1=b^2-4ac\)
Xét phương trình thứ hai, có \(\Delta_2=b^2-4ca=b^2-4ac\)
Từ đó ta có \(\Delta_1=\Delta_2\), do đó, khi phương trình (1) có nghiệm \(\left(\Delta_1\ge0\right)\)thì \(\Delta_2\ge0\)dẫn đến phương trình (2) cũng có nghiệm và ngược lại.
Vậy 2 phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.
b) Vì \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(x_1x_2=\frac{c}{a}\)
Tương tự, ta có \(x_1'x_2'=\frac{a}{c}\)
Từ đó \(x_1x_2+x_1'x_2'=\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
Nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c>0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c< 0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}>0\\\frac{a}{c}>0\end{cases}}\), khi đó có thể áp dụng bất đẳ thức Cô-si cho 2 số dương \(\frac{c}{a}\)và \(\frac{a}{c}\):
\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}=2\), dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'\ge2\)
Nhưng nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c< 0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c>0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}< 0\\\frac{a}{c}< 0\end{cases}}\),như vậy \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 0< 2\)dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'< 2\)
Như vậy không phải trong mọi trường hợp thì \(x_1x_2+x_1'x_2'>2\)
Để phương trình có nghiệm cần : \(\(\(\(\Delta\ge0\)\)\)\)
hay \(\(\(\(\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le-2\end{cases}}\)\)\)\)và \(\(\(\(\orbr{\begin{cases}b\ge2\sqrt{17}\\b\le-2\sqrt{17}\end{cases}\left(\cdot\right)}\)\)\)\)
Gọi \(\(\(\(t\)\)\)\)là nghiệm chung 2 phương trình , ta có :
\(\(\(\(\hept{\begin{cases}t^2+t.a+1=0\\t^2+t.b+17=0\end{cases}}\)\)\)\)
\(\(\(\(\Rightarrow t\left(a-b\right)-16=0\Rightarrow a-b=\frac{16}{t}\)\)\)\)
Giải phương trình \(\(\(\(\left(1\right)\)\)\)\): tìm \(\(\(\(t\)\)\)\)theo \(a\):
\(\(\(\(t=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}\Rightarrow b=a-\frac{32}{-a\pm\sqrt{a^2-4}}\)\)\)\)
Kết hợp với \(\(\(\(\left(\cdot\right)\)\)\)\): \(\(\(\(b\in(-\infty;-2\sqrt{17}]\)\)\)\)∪\(\(\(\([2\sqrt{17};+\infty)\)\)\)\)
+) Với \(\(\(\(b=a-\frac{32}{\sqrt{a^2-4}-a}=\frac{544a+\sqrt{a^2-4}}{32}\)\)\)\)
Nếu \(\(\(\(a\ge2\)\)\)\)thì \(\(\(b\ge18\left(tm\right)\)\)\)
Nếu \(\(\(\(a\le-2\)\)\)\), Ta phải chứng minh \(\(\(\(32a+\sqrt{a^2-4}\le-4\sqrt{17}\)\)\)\)hay \(\(\(\(32a+4\sqrt{17}\le-\sqrt{a^2-4}\)\)\)\)
____________cạn, hình như sai ở đâu , để xem lại________
_Sorry_
_Minh ngụy_
___Giải PT (1), tìm t theo a :_
.....................
\(a\ge2\Rightarrow b\ge18\left(tm\right)\)
\(a\le2\Rightarrow......................\)(luôn đúng với mọi \(b\))
+) Nếu \(b=a-\frac{32}{-a-\sqrt{a^2-4}}=\frac{544a-\sqrt{a^2-4}}{32}\). cũng tương tự như trên , thỏa mãn với
\(a\in(-\infty;-2]\)U \([2;+\infty)\)
Như vậy , tìm được b theo a \(b=\frac{544a\pm\sqrt{a^2-4}}{32}\)
Suy ra \(|a|+|b|=a+\frac{544+\sqrt{a^2-4}}{32}\)
Giờ chỉ việc xét \(|a|\in[2;+\infty)\)là ra min và a,b nha
_Minh ngụy_
Để 2 pt \(x^2+ax+bc=0\)(1)
và \(x^2+bc+c=0\) (2)
thì \(\hept{\begin{cases}\Delta_1=a^2-4bc\ge0\\\Delta_2=b^2-4ac\ge0\end{cases}}\)
Gọi 2 nghiệm của pt (1) là \(x_0\), \(x_1\)và 2 nghiệm của pt (2) là \(x_0\), \(x_2\)
( Nghiệm chung là \(x_0\))
Theo Vi-et , ta có :
\(\hept{\begin{cases}x_0+x_1=-a\\x_0.x_1=bc\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x_0+x_2=-b\\x_0.x_2=ac\end{cases}}\)
Suy ra :
\(\hept{\begin{cases}\left(x_0+x_1\right)-\left(x_0+x_2\right)=\left(-a\right)-\left(-b\right)\\\frac{x_0.x_1}{x_0.x_2}=\frac{bc}{ac}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=b-a\\\frac{x_1}{x_2}=\frac{b}{a}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{b}{a}.x_2\\\frac{b}{a}.x_2-x_2=b-a\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_2.\left(\frac{b}{a}-1\right)=b-a\Leftrightarrow x_2.\frac{b-a}{a}=b-a\\x_1=\frac{b}{a}.x_2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_2=a\\x_1=b\end{cases}}\)
Vì \(x_1=b\)và \(x_0.x_1=bc\)nên \(x_0=c\)
Suy ra : \(x_0+x_1=-a\)\(\Leftrightarrow x_1+a=-x_0\)\(\Leftrightarrow x_1+x_2=-c\)
Mà \(x_1.x_2=ab\)
Suy ra : \(x_1\)và \(x_2\)là 2 nghiệm của pt : \(x^2+cx+ab=0\)