Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
\(A=\frac{\sqrt{z-5}}{z}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}=\frac{\sqrt{5\left(z-5\right)}}{\sqrt{5}z}+\frac{\sqrt{4\left(x-4\right)}}{2y}+\frac{\sqrt{3\left(x-3\right)}}{\sqrt{3}x}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có : \(A\le\frac{\frac{5+z-5}{2}}{\sqrt{5}z}+\frac{\frac{4+y-4}{2}}{2y}+\frac{\frac{3+x-3}{2}}{\sqrt{3}x}=\frac{\sqrt{5}}{10}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow z=10;y=8;x=6\)
\(A=\frac{\sqrt{z-5}}{z}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
\(z=z-5+5\ge2\sqrt{5.\left(z-5\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{z-5}}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{5}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(z-5=5\Leftrightarrow z=10\)
tương tự x, y.
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
\(ĐKXĐ:x\ge1,y\ge2\)
Ta có : \(C=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}\)
\(=\frac{\sqrt{1.\left(x-1\right)}}{x}+\frac{\sqrt{2.\left(y-2\right)}}{y\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta có :
\(\sqrt{1.\left(x-1\right)}\le\frac{1+x-1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{1.\left(x-1\right)}}{x}\le\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{2.\left(y-2\right)}\le\frac{2+y-2}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{y}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\)Do đó \(C\le\frac{2+\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 2, y = 4
Có \(\sqrt{\frac{x}{\sqrt[]{3x+yz}}}=\sqrt[]{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}}\)
Làm tương tự với 2 cái còn lại
Ta sẽ dùng bđt cô si mở rộng: (a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)
Đặt A là biểu thức để bài cho
Có A^2<=\(3\left(\frac{x}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt[]{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\right)\)
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
nên \(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
làm tương tự với 2 ngoặc còn lại ta sẽ thấy A^2<=\(\frac{9}{2}\)
hay A<=\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Chúc bạn học tốt!