Question

[khanhhuyen6a5]

\(\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}-\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt \(\sqrt{3+\sqrt{5}}=a; \sqrt{3-\sqrt{5}}=b\) và biểu thức đã cho là $P$

\((a+b)^2=6+2\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=10\Rightarrow a+b=\sqrt{10}\)

\((a-b)^2=6-2\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=2\Rightarrow a-b=\sqrt{2}\)

$ab=\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=2$

\(P=\frac{a^2}{\sqrt{10}+a}-\frac{b^2}{\sqrt{10}+b}=\frac{\sqrt{10}(a^2-b^2)+ab(a-b)}{10+\sqrt{10}(a+b)+ab}=\frac{\sqrt{10}.\sqrt{10}.\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{10+\sqrt{10}.\sqrt{10}+2}\)

\(=\frac{6\sqrt{2}}{11}\)