Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(1) “Với mọi số tự nhiên \(x,\,\,\sqrt x \) là số vô tỉ” sai, chẳng hạn \(x = 1:\;\sqrt x = 1\) không là số vô tỉ.
(2) “Bình phương của mọi số thực đều không âm” đúng;
(3) “Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0” đúng, số nguyên đó chính là số 0;
(4) “Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0” sai, vì chỉ khi \(n = \frac{1}{2}\) thì 2n – 1 = 0 nhưng \(\frac{1}{2}\) không phải là số tự nhiên.
Cho a, b là các số hữu tỉ khác 0 và n ∈ N*. Chứng minh rằng:
A=\(a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}\) là số vô tỉ
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử \(A=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}\in\mathbb{Q}\)
Bình phương 2 vế:
\(\Rightarrow a^2n+b^2(n+1)+2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2\)
\(\Rightarrow 2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2-a^2n-b^2(n+1)\in\mathbb{Q}\)
Mà \(2ab\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\)
Do \(n\in\mathbb{N}^*\Rightarrow n(n+1)\in\mathbb{N}^*\). Suy ra, để \(\sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\) thì nó phải có dạng \(t\) (\(t\in\mathbb{N})\)
Ta có:
\(\sqrt{n(n+1)}=t\)
\(\Rightarrow n(n+1)=t^2\)
\(\Rightarrow 4n(n+1)=(2t)^2\Rightarrow (2n+1)^2=(2t)^2+1\)
\(\Leftrightarrow (2n+1-2t)(2n+1+2t)=1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1-2t=1\\ 2n+1+2t=1\end{matrix}\right.\rightarrow n=0\) (vô lý do \(n\in\mathbb{N}^*\) )
Vậy giả sử là sai. Do đó \(A\not\in\mathbb{Q}\) hay A vô tỉ.
Lời giải:
Do $a+b+c=1$ nên:
\(\text{VT}=\sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a(a+b+c)+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b(a+b+c)+ac}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}+\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Mệnh đề sau là mệnh đề gì
a) 8 là số nguyên tố
b) \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
c) \(5-\sqrt{2}\)là số vô tỉ
a, mệnh đề đúng
b, mệnh đề sai
c, mệnh đề đúng
=> n chia 3 dư a (0<a <3)
=> n = 3b +a
=> n^2 = 9b^2 + 6ab + a^2 chia hết cho 3
=> a^2 chia hết cho3 mà 0<a <3
=> vô lý do ko có số nào thỏa mãn
=> giả sử sai
=> n^2 chia hết cho 3 <=> n chia hết cho 3b:
c:Giả sử: n^2 là số lẻ và n là số chẵnVì n chẵn => n = 2k(k thuộc N*)
=>n^2 = 4k^2
=>n^2 là số chẵn(trái với giả thiết)
Vậy khi n^2 là số lè thì n là số lẻ