K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ĐK: x≥0, x khác 1
23 tháng 5 2023
Trước hết, ta đi chứng minh một bổ đề sau: Nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Thật vậy, ta phân tích
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(P=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
Hiển nhiên nếu \(a+b+c=0\) thì \(P=0\) hay \(a^3+b^3+c^3=3abc\), bổ đề được chứng minh.
Do \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) nên áp dụng bổ đề, ta được \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\).
Vì vậy \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}\) \(=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\) \(=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\). Ta có đpcm
XO
3 tháng 8 2023
Có VT = \(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xy}-\dfrac{2}{yz}-\dfrac{2}{zx}}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|=VP\) (Vì x + y + z = 0)
30 tháng 7 2020
Vì \(x\ne0,y\ne0\) nên điều kiện đã cho tương đương với \(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}=2\Rightarrow\frac{x^2}{y^4}+\frac{y^2}{x^4}+\frac{2}{xy}=4\Leftrightarrow4\left(1-\frac{1}{xy}\right)=\frac{x^2}{y^4}+\frac{y^2}{x^4}-\frac{2}{xy}=\left(\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\frac{1}{2}\left|\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}\right|\)
22 tháng 8 2021
Ta có: \(P=A\cdot B\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 10 2021
Ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+0}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{zx}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\) là số hữu tỉ