Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(y'=3x^2-6x\)\(\Rightarrow d:y=-2x+2\)
\(\Delta\) song song với \(d\Leftrightarrow-2=2m\Leftrightarrow m=-1\)
\(f'\left(x\right)=6\left(x^2+\left(m-1\right)x+m-2\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+m-2=0\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=0\) hay \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(m-3\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne3\)
Ta có \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\left[2x+\left(m-1\right)\right]-\left(m-3\right)^2x-\left(m^2-3m+3\right)\)
Với \(m\ne3\) thì \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) và hàm số đạt cực trị tại \(x_1;x_2\) do \(\begin{cases}g\left(x_1\right)=0\\g\left(x_2\right)=0\end{cases}\) nên \(\begin{cases}y_1=f\left(x_1\right)=-m\left(m-3\right)^2x_1-\left(m^2-3m+3\right)\\y_2=f\left(x_2\right)=-m\left(m-3\right)^2x_2-\left(m^2-3m+3\right)\end{cases}\)
Suy ra đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là :
\(\Delta:y=-\left(m-3\right)^2x-\left(m^2-3m+3\right)\)
ta có \(\Delta\) song song với đường \(y=ax+b\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3\\-\left(m-3\right)^2=a\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3,a< 0\\\left(m-3\right)^2=-a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a< 0\\m-3=\pm\sqrt{-a}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a< 0\\m=3\pm\sqrt{-a}\end{cases}\)
Vậy : Nếu \(a\ge0\) thì không tồn tại m
Nếu a < 0 thì \(m=3\pm\sqrt{-a}\)
Lời giải + diễn giải
để hàm có cực trị f'(x) phải có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm
a) \(y'=3x^2-6x+m\)
xét f(x)= 3x^2 -6x+m
để f(x) là hàm bậc 2 => có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm đk cần và đủ \(\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m>0\Rightarrow m< 3\)
Kết luận với m< 3 hàm A(x) luôn có cực trị
b)
\(y'=3x^2+4mx+m\)
\(\Delta'=4m^2-3m>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
c)
\(y=\dfrac{x^2-2mx+5}{x-m}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne m\\y=\left(x-m\right)+\dfrac{5-m^2}{x-m}\end{matrix}\right.\)
\(y'=1+\dfrac{m^2-5}{\left(x-m\right)^2}\)
\(y'=0\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+m^2-5=0\Rightarrow5-m^2>0\Rightarrow-\sqrt{5}< m< \sqrt{5}\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
\(f'\left(x\right)=6\left[x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)=0\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(m-3\right)^2>0\)
\(\Leftrightarrow m\ne3\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) ta có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tai \(x_1,x_2\)
Ta có : \(g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)=0\) nên suy ra :
\(y_1=f\left(x_1\right)=-\left(m-3\right)^2x_1-\left(m^2-3m+3\right)\)
\(y_1=f\left(x_2\right)=-\left(m-3\right)^2x_2-\left(m^2-3m+3\right)\)
=> Đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu là \(\left(\Delta\right)\) : \(y=-\left(m-3\right)^2x-\left(m^2-3m+3\right)\)
Ta có \(\left(\Delta\right)\) song song với đường thẳng \(y=ax+b\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3\\-\left(m-3\right)^2=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3;a<0\\\left(m-3\right)^2=-a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a<0\\m=\pm\sqrt{a}\end{cases}\)
Vậy : Nếu a<0 thì \(m=3\pm\sqrt{-a}\)
Nếu \(a\ge0\) thì không tồn tại m thỏa mãn
Gọi \(H=BC\cap Oy\) thì AH là đường cao tam giác ABC
Ta có \(H\left(0;c-\frac{b^2}{4a}\right)\Rightarrow AH=\frac{b^2}{4\left|a\right|}\)
\(\sin\widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin\widehat{ACH}}=\frac{AB^2}{2AH}=\frac{b^3-8a}{8\left|a\right|b}\)
Từ yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\R=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m^3-2m+1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=1\) hoặc \(m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
\(y'=\dfrac{x^2-2x+2m-2}{\left(x-1\right)^2}\)
Hàm có 2 cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm pb khác 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-3\ne0\\\Delta'=1-\left(2m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< \dfrac{3}{2}\)
Khi đó, phương trình đường thẳng qua 2 cực trị có dạng:
\(y=\dfrac{2x-2m}{1}=2x-2m\)
Đường thẳng này có cùng hệ số góc với d nên chúng song song nhau