Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho mình xin đề bài với cho hỏi tại sao có
\(\left(a-b\right)^2\left(17a^2+10ab+9b^2\right)\ge0\)
để suy ra \(\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2\)
#Thắng: hình như là Ireland MO 2000 hay 2002 j đó , nãy vừa thấy trên fb <(")
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}\geq \frac{9}{ab+1+bc+1+ca+1}=\frac{9}{ab+bc+ac+3}(1)\)
Theo BĐT AM-GM:
\(ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq 3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}\geq \frac{9}{ab+bc+ac+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
\(VT=3\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\left(3a+\frac{2}{a}\right)+\left(3b+\frac{2}{b}\right)+\left(3c+\frac{2}{c}\right)\)
*Nháp*
Dự đoán điểm rơi tại a = b = c = 1 khi đó VT = 15
Ta dự đoán BĐT phụ có dạng \(3x+\frac{2}{x}\ge mx^2+n\)(Ta thấy hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu có bậc là 2 nên VP của BĐT phụ cũng có bậc 2) (*)
Do đó ta có: \(3a+\frac{2}{a}\ge ma^2+n\);\(3b+\frac{2}{b}\ge mb^2+n\);\(3c+\frac{2}{c}\ge mc^2+n\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge m\left(a^2+b^2+c^2\right)+3n=3\left(m+n\right)=15\)
\(\Rightarrow m+n=5\Rightarrow n=5-m\)
Thay n = 5 - m vào (*), ta được: \(3x+\frac{2}{x}\ge mx^2+5-m\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-5x+2}{x}\ge m\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(3x-2\right)}{x\left(x+1\right)}\ge m\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow m\le\frac{3x-2}{x\left(x+1\right)}\)(**)
Đồng nhất x = 1 vào (**), ta được: \(m=\frac{1}{2}\Rightarrow n=\frac{9}{2}\)
Ta được BĐT phụ \(3x+\frac{2}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\)
GIẢI:
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a^2;b^2;c^2\le3\Rightarrow0< a;b;b\le\sqrt{3}\)
Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(3x+\frac{2}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\)(với \(0< x\le\sqrt{3}\))
\(\Leftrightarrow\frac{\left(4-x\right)\left(x-1\right)^2}{2x}\ge0\)(đúng với mọi \(0< x\le\sqrt{3}\))
Áp dụng, ta được: \(3a+\frac{2}{a}\ge\frac{a^2}{2}+\frac{9}{2}\);\(3b+\frac{2}{b}\ge\frac{b^2}{2}+\frac{9}{2}\);\(3c+\frac{2}{c}\ge\frac{c^2}{2}+\frac{9}{2}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}.3=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
hình chử nhật có chu vi là 150m chiều dài hơn chiều rộng là 15m tìm tỉ số của chiều rộng và chiều dài hinh chử nhật đó
a. Ta có:\(\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y^2}{x^4}=}\) \(\frac{x}{y}.\frac{\left|y\right|}{x^2}=\frac{x.y}{x^2y}\)\(=\frac{1}{x}\)(Vì \(x\ne0;y>0\))
b \(3x^2\sqrt{\frac{8}{x^2}}=3x^2\frac{2\sqrt{2}}{\left|x\right|}=\frac{6x^2\sqrt{2}}{-x}=-6x\sqrt{2}\)( Vì \(x< 0\))
10. a)
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(x^4+y^4\right)=ab\left(x^2+y^2\right)^2\Leftrightarrow\left(bx^2-ay^2\right)^2=0\Leftrightarrow bx^2=ay^2\)
b) Từ \(ay^2=bx^2\Rightarrow\frac{y^2}{b}=\frac{x^2}{a}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2008}}{a^{1004}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1004}}\); \(\frac{y^{2008}}{b^{1004}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1004}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2008}}{a^{1004}}+\frac{y^{2008}}{b^{1004}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\)
25. Ta có \(\left(ax+by+cz\right)^2=0\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2\left(abxy+bcyz+acxz\right)\)
Xét mẫu số của P : \(bc\left(y-z\right)^2+ac\left(x-z\right)^2+ab\left(x-y\right)^2=bc\left(y^2-2yz+z^2\right)+ac\left(x^2-2xz+z^2\right)+ab\left(x^2-2xy+y^2\right)\)
\(=y^2bc-2bcyz+bcz^2+acx^2-2xzac+acz^2+abx^2-2abxy+aby^2\)
\(=y^2bc+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2-2\left(abxy+xzac+bcyz\right)\)
\(=y^2bc+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)
\(=c\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+b\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+a\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2007}\)
8. \(\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}=\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^3-3.\frac{xy}{ab}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=1^3-3.\left(-2\right).1=7\)