Question

[nguyễn mai trang]

có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triển

a) (\(\sqrt{3}+\sqrt[3]{7}\) )¹²⁸

^{b) \(\left(\sqrt{3}+\sqrt[4]{8}\right)^{124}\)}

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ \(\left(3^{\frac{1}{2}}+7^{\frac{1}{3}}\right)^{128}=\sum\limits^{128}_{k=0}C_{128}^k3^{\frac{k}{2}}.7^{\frac{128-k}{3}}\)

Do \(\left(3;7\right)=1\) nên để hạng tử là nguyên khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{k}{2}\in Z\\\frac{128-k}{3}\in Z\\0\le k\le128\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{k}{2}\in Z\\\frac{k+1}{3}\in Z\\0\le k\le128\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k=6n+2\) (\(n\in N\))

\(0\le k\le128\Rightarrow0\le6n+2\le128\)

\(\Rightarrow0\le n\le21\Rightarrow\) có 22 hạng tử là số nguyên

b/\(\left(3^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{3}{4}}\right)^{124}=\sum\limits^{124}_{k=0}C_{124}^k3^{\frac{k}{2}}2^{93-\frac{3k}{4}}\)

Hạng tử là nguyên khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{k}{2}\in Z\\\frac{3k}{4}\in Z\\0\le k\le124\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k=4n\) với \(n\in N\)

\(\Rightarrow0\le4n\le124\Rightarrow0\le n\le31\)

Có 32 hạng tử nguyên