Question

[Minh Nguyệt]

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của y để tồn tại số thực x >1 thỏa mãn phương trình: (x²y - 8x + y - 3).log₉y = log₃\(\dfrac{\sqrt{8x-y+4}}{x}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left(x^2y-8x+y-4\right)log_3y=2log_3\dfrac{\sqrt{8x-y+4}}{x}-log_3y=log_3\dfrac{8x-y+4}{x^2y}\)

\(\Rightarrow log_3\left(x^2y\right)+x^2y.log_3y=log_3\left(8x-y+4\right)+\left(8x-y+4\right)log_3y\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t.log_3y\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{1}{1.ln3}+log_3y>0\)

\(\Rightarrow x^2y=8x-y+4\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{8x+4}{x^2+1}\)

Tìm y để pt trên có nghiệm lớn hơn 1, lập BBT \(\Rightarrow y< 6\)