Question

[Pham Trong Bach]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình   $\sqrt{1+2\cos x}+\sqrt{1+2\sin x}=\frac{m}{2}$ có nghiệm thực?

A. 3

B. 1

C. 4

D. 6

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Xét  x ∈ - π ; π mà  2 sin   x + 1 ≥ 0 2 cos   x + 1 ≥ 0 suy ra  x ∈ - π 6 ; 2 π 3

Ta có: 

Đặt  t =   sin x + cos x = 2 sin x + π 4 ⇒ t ∈ 3 - 1 2 ; 2

Và 2.sinx.cos x= t²- 1

Khi đó:

Suy ra y= f( t)  là hàm số đồng biến trên  3 - 1 2 ; 2 ⇒ m i n   f ( t ) = f ( 2 ) = 2 + 2 2 m a x   f ( t ) = f 3 - 1 2 = 1 + 3 2

Do đó, để f( t) = m²/ .8 có nghiệm  ⇔ 1 + 3 2 ≤ m 2 8 ≤ 2 + 2 2 ⇔ 2 1 + 3 ≤ m ≤ 4 1 + 2

Mà m nguyên chọn m= 5; 6;7; 8.

Chọn C.