Question

[D.Công Thiện]

Có bao nhiêu cặp số nguyên (a; b) thỏa mãn a < 5 và hàm số f(x) = ax⁴ + bx³ + x² - 3 đạt giá trị nhỏ nhất tại x=0 ?

A. 22 B. 23 C. 27 D. 26

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

- Với \(a=b=0\) thỏa mãn

- Với \(a=0;b\ne0\) hàm bậc 3 ko tồn tại min max (ko thỏa mãn)

- Với \(a< 0\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow\) ko tồn tại min f(x) (loại)

\(\Rightarrow a>0\)

\(f\left(0\right)=-3\Rightarrow\) để hàm thỏa mãn yêu cầu thì \(f\left(x\right)\ge-3;\forall x\ne0\)

\(\Leftrightarrow ax^4+bx^3+x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\left(ax^2+bx+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+bx+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4a\le0\Leftrightarrow b^2\le4a\)

- Với \(a=1\Rightarrow-2\le b\le2\) có 5 cặp

- Với \(a=2\Rightarrow-2\le b\le2\) có 5 cặp

- Với \(a=3\Rightarrow-3\le b\le3\) có 7 cặp

- Với \(a=4\Rightarrow-4\le b\le4\) có 9 cặp

Vậy tổng cộng có 27 cặp a;b thỏa mãn