Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
<=> f(x) = .
Xét dấu của f(x) ta được tập nghiệm của bất phương trình:
T = ∪ [3; +∞).
b)
<=> f(x) = =
.
f(x) không xác định với x = ± 1.
Xét dấu của f(x) cho tập nghiệm của bất phương trình:
T = (-∞; - 1) ∪ (0; 1) ∪ (1; 3).
c) <=> f(x) =
= .
Tập nghiệm: \(\left(-12;-4\right)\cup\left(-3;0\right)\).
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
a: TH1: x>=2
=>2x-4<=x+12
=>x<=16
=>2<=x<=16
TH2: x<2
=>4-2x<=x+12
=>-3x<=8
=>x>=-8/3
=>-8/3<=x<2
b: TH1: x>=1
BPT sẽ là \(\dfrac{x-1}{x+2}< 1\)
=>(x-1-x-2)/(x+2)<0
=>x+2<0
=>x<-2(loại)
TH2: x<1
BPT sẽ là \(\dfrac{1-x}{x+2}-1< 0\)
=>(1-x-x-2)/(x+2)<0
=>(-2x-1)/(x+2)<0
=>(2x+1)/(x+2)>0
=>x>-1/2 hoặc x<-2
=>-1/2<x<1 hoặc x<-2
Đặt A = \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64}\)
2A = \(2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64}\right)\)
2A = \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32}\)
2A + A = \(\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64}\right)\)
3A = \(1-\dfrac{1}{64}\)
3A = \(\dfrac{63}{64}\) < 1
hay 3A < 1
=> A < \(\dfrac{1}{3}\)
Vậy .................. (tự kết luận)
Từ \(\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{2b}{2+b}+\dfrac{3c}{3+c}\le\dfrac{6}{7}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{a}{1+a}+2-\dfrac{2b}{2+b}+3-\dfrac{3c}{3+c}\ge6-\dfrac{6}{7}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{4}{b+2}+\dfrac{9}{c+3}\ge\dfrac{36}{7}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{4}{b+2}+\dfrac{9}{c+3}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+6}=\dfrac{36}{7}=VP\)
Xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{6};b=\dfrac{1}{3};c=\dfrac{1}{2}\)
2) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{25}{y}+\dfrac{64}{z}=\dfrac{4}{4x}+\dfrac{225}{9y}+\dfrac{1024}{16z}\ge\dfrac{\left(2+15+32\right)^2}{4x+9y+6z}=49\)
\(5A=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{3}{5^3}+...+\dfrac{11}{5^{11}}.\)
\(4A=5A-A=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{5^3}+...+\dfrac{1}{5^{11}}-\dfrac{11}{5^{12}}=B-\dfrac{11}{5^{12}}.\)
\(5B=1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{5^{10}}.\)
\(4B=5B-B=1-\dfrac{1}{5^{11}}\)
\(\Rightarrow4A=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5^{11}}\right)-\dfrac{1}{5^{12}}< \dfrac{1}{4}\Rightarrow A< \dfrac{1}{16}\)
Ta có : \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^2+a^2}\le\dfrac{a^3}{2abc}+\dfrac{b^3}{2abc}+\dfrac{b^3}{2abc}+3\)( vì \(a^2+b^2+c^2=1\) )
\(\Leftrightarrow3+\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2ab}+3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\)
Mà theo bất đẳng thức cô-si , ta có : \(b^2+c^2\ge2bc\)\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}\)
Tương tự ta cũng có : \(\dfrac{b^2}{c^2+a^2}\le\dfrac{b^2}{2ca},\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{c^2}{2ab}\)
Cộng các bất đẳng thức trên lại với nhau ta được :
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\)
Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh .
post đúng lớp hoặc autodelete