Question

[Minz Ank]

CMR:A=2^2^n - 1 chia hết cho 5 ( n thuộc N, n >= 2)

Answer 1

[Dương Ngọc Nguyễn]

CMR: 2^{2^n} - 1 ⋮ 5

Ta có 2^{2^n} chia 5 dư 1.

Do số chia 5 dư 1 là số có chữ số tận cùng là 1 và 6, mà lũy thừa của 2 là số chẵn nên chữ số tận cùng của 2^{2^n} là 6.

Thế n = 2 vào biểu thức, ta được:

2^{2^2} = 16 (thỏa)

Số có chữ số tận cùng là 6 nhân với 2 ta được số có chữ số tận cùng là 2, nhân tiếp với 2 ta được số có chữ số tận cùng là 4, tiếp tục nhân với 2 thì chữ số tận cùng là 8, nhân với 2 nữa chữ số tận cùng quay lại là 6.

=> Lấy 16 nhân với 2.2.2.2 = 2⁴ ta tiếp tục nhận được số có chữ số tận cùng là 6. Cứ nhân lên với 2⁴ như vậy ta được các số chia 5 dư 1.

Mà 16 = 2⁴ nên dãy số trên là tập hợp các lũy thừa của 2⁴.

=> Công thức tổng quát của các số chia 5 dư 1 là (với x = n - 1):

16^x = (2⁴)^x =  (2⁴)^n-1 = 2^4(n-1) 

Số mũ 4(n-1) là một bội của 4 (1).

Ta xét số mũ của 2^{2^n}:

2ⁿ = 4.2^n-2 ⋮ 4  (2)

Từ (1),(2) => 2ⁿ ⊂ 4(n-1) => 2^{2^n} ⊂ 2^4(n-1) 

Và như đã chứng minh, 2^4(n-1) chia 5 dư 1,

nên 2^{2^n} - 1 ⋮ 5 (đpcm).