Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+b^2y^2+2axby\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2ay.bx+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh
Đáng lẽ là bé hơn hoặc bằng
(ax + by)2 = a2x2 + 2axby + b2y2
(a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
Ta cần chứng minh:
\(2axby\le b^2x^2+a^2y^2\)'
\(\Leftrightarrow0\le b^2x^2-2aybx+a^2y^2\)
<=> 0 \(\le\)(bx - ay)2 (đúng)
Vậy bđt đc chứng minh
2) ta có: \(VT=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) và \(VP=\left(ax+by\right)^2\)
tính hiệu của cả VT và VP
suy ra: \(\left(ay+bx\right)^2=0\Rightarrow ay=bx\)
vì \(x,y\ne0\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\left(đpcm\right)\)
3)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2 (1)
biến đổi đẳng thức (1) thành (ay+bx)2 + (bz-cy)2 +(az-cx)2 =0
\(\Rightarrow\) Đpcm
Ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)
\(=a^2x^2-2abxy+b^2y^2+a^2y^2+2abxy+b^2x^2\) \(=\left(ax-by\right)^2+\left(ay+bx\right)\)
\(=vp\)
\(\Rightarrowđpcm\)
a) \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2abxy\)
\(\Leftrightarrow b^2x^2-2abxy+a^2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx\right)^2-2\cdot bx\cdot ay+\left(ay\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2=0\Rightarrow bx=ay\Rightarrow\left(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\right)\)
b) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)
\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2acxz\)
\(\Leftrightarrow b^2x^2-2bxay+a^2y^2+b^2z^2-2bzcy+c^2y^2+a^2z^2-2azcx+c^2x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\hept{\begin{cases}bx=ay\\bz=cy\\az=cx\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\end{cases}}\Rightarrow\left(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\right)}\)
c) \(\left(a+b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)
a, Tương đương : \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\) = \(a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(a^2y^2-2axby+b^2x^2=0\)
\(\left(ay-bx\right)^2\) = 0
\(ay-bx=0\)
\(ay=bx\)
\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\) dpcm
Câu b, c làm tương tự câu a
Ta có:
\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2-2aybx\ge0\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2\ge2aybx\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2x^2+b^2y^2\ge2aybx+a^2x^2+b^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2x^2+a^2y^2\right)+\left(b^2y^2+b^2x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(y^2+x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\rightarrowđpcm\)
Lên gg gõ: bđt bunhiacopxki nhé bạn. Chứng minh theo cách đưa về bp.