Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta xét \(x\ge2\)
Do đó , y là số lẻ
Mà 12x , y2 \(\equiv1\left(mod8\right)\)
Suy ra 5x \(\equiv1\left(mod8\right)\)
=> x chẵn
Đặt x = 2k (k > 0)
=> 52k = (y - 12k)(y + 12k)
Mặt khác , 5 là số nguyên tố nên tồn tại một số m,m < k thõa : y + 12k = 52k - m
và y - 12k = 5m
=> 2.12k = 5m(52k - 2m - 1)
Nhận thấy : 2 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với 5
=> 52k + 122k = (12k + 1)2
Mà 2.12k = 5m => m = 0 và y = 12k + 1
=> 2.12k = 25k - 1
Tìm từng giá trị của k thấy k = 1 thõa mãn phương trình
Vậy x = 2 , y = 13
b) Dùng nhị thức Newton , ta khai triển hai hạng tử được
\(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}=2^{2016}+2^{2016}+3^{1008}+3^{1008}=2\left(2^{2016}+3^{1008}\right)⋮2\)
Vậy ......
Bài 1:
Ta thấy: \(y^2=5^x+12^x\equiv 5^x\equiv (-1)^x\pmod 3\)
Nếu $x$ lẻ suy ra \(y^2\equiv (-1)^x\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)
Điều này vô lý do một số chính phương chia $3$ chỉ có thể dư $0,1$
Do đó $x$ chẵn. Đặt \(x=2k\)
\(\Rightarrow 5^{2k}+12^{2k}=y^2\)
\(\Leftrightarrow (y-12^k)(y+12^k)=5^{2k}\)
Khi đó tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho:
\(\left\{\begin{matrix} y-12^k=5^m\\ y+12^k=5^n\end{matrix}\right.(m+n=2k)\)
\(\Rightarrow 2.12^k=5^n-5^m\)
Vì \(2.12^k\not\vdots 5\Rightarrow 5^n-5^m\not\vdots 5\). Do đó bắt buộc một trong hai số $m,n$ bằng $0$
Vì cả hai đều là số tự nhiên mà $m< n$ nên $m=0$
Do đó: \(2.12^k=5^n-1=5^{2k}-1=25^k-1(*)\)
Nếu \(k=0\) thì vô lý
Nếu \(k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=13\) (thỏa mãn)
Nếu \(k\geq 2\) : \(25^k-1=(24+1)^k-1>24^k=2^k.12^k>2.12^k\) (trái với $(*)$)
Vậy \((x,y)=(2,13)\)
Bài 2:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2+\sqrt{3}=a\\ 2-\sqrt{3}=b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1\\ a+b=4\end{matrix}\right.\)
Ta sẽ chứng minh \(a^n+b^n\) luôn chẵn với mọi \(n\in\mathbb{N}\) bằng quy nạp
Thật vậy:
\(n=0\Rightarrow a^n+b^n=2\) chẵn
\(n=1\Rightarrow a^n+b^n=a+b=4\) chẵn
....
Giả sử điều ta nhận định đúng đến \(n=k\) .
Ta chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\)
Thật vậy:
\(a^{k+1}+b^{k+1}=(a^k+b^k)(a+b)-a^kb-ab^k\)
\(=4(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})\)
\(=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\)
Vì nhận định đúng đến $n=k$ nên \(a^{k-1}+b^{k-1}\) chẵn
\(\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\) chẵn
Ta có đpcm
Thay \(n=2016\) thì từ kết quả vừa chứng minh suy ra \((2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}=a^{2016}+b^{2016}\) chẵn
Ta có (x + |x| + 2016)(y + |y| + 2016) > 2016 với mọi x, y nên không thể tính được P
Đặt Sn=\(\left(2+\sqrt{3}\right)^n+\left(2-\sqrt{3}\right)^n\)
Ta có: \(\left(2+\sqrt{3}\right)\) và \(\left(2-\sqrt{3}\right)\)là nghiệm của phương trình:
x2 - (\(\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\)) x + (\(\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\)) = 0 <=>
x2-4x+1=0 =>x2 =4x -1 Nhân 2 vế cho xn-2 :
xn=4xn-1 -xn-2
.Thế x = \(\left(2+\sqrt{3}\right)\)được:
\(\left(2+\sqrt{3}\right)^n=4\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-1}-\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-2}\) (1)
Thế x = \(\left(2-\sqrt{3}\right)\)được:
\(\left(2-\sqrt{3}\right)^n=4\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-1}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-2}\)(2)
\(\left(2+\sqrt{3}\right)^n+\left(2-\sqrt{3}\right)^n=4\cdot\left(\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-1}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-1}\right)-\left(\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-2}\right)\)
<=> Sn = 4Sn-1-Sn-2 (*)
Ta có S0 = 2 là số chẵn, S1 = 4 là số chẵn => S3 là số chẵn
Tương tự => S4, S5, ... Sn là số chẵn với mọi n >=0 => S2016 = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\) là số chẵn (đpcm)
Ta có:
\(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2016}}\right)\left(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}}\right)\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2016}}\right)=\sqrt{2016}\left(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2016}\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2016}}\right)=-\sqrt{2016}\left(\sqrt{x-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}}}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+\sqrt{2016}}-\sqrt{y^2+\sqrt{2016}}\)(1)
Tương tự ta cũng có:
\(x+y=\sqrt{y^2+\sqrt{2016}}-\sqrt{x^2+\sqrt{2016}}\left(2\right)\)
Lấy (1) + (2)
\(\Rightarrow x+y=0\)
nhận liên hợp ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
mà theo đề bài ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
==> \(\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\)
tương tự ta có \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\)
trừ từng vế 2 pt trên ta có 2x=-2y <=>x=-y
đến đây ok rùi nhé bạn
Giả sử \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\) là số lẻ
Suy ra hai số hạng trên khác tính chẵn lẻ. ( 1 )
Xét tổng \(2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\)là số chẵn
=> Hai số hạng trên cùng tính chẵn lẻ. ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => điều phải chứng minh
Sai chỗ nào thế mọi người ??