Câu hỏi của Lăng Bích Tư

Question

CMR không tồn tại các số tự nhiên x,y thỏa mãn:

x⁴ + y³ + 4 =0

Helpppp

Đông Phương Lạc · Accepted Answer

Giả sử tồn tại các số nguyên x,y thảo mãn $x^4+y^3+4=0$ $\left(1\right)$

Ta có: $\left(1\right)$ $\Leftrightarrow\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)=-y^3$

Trước tiên ta nhận xét rằng x phải là một số lẻ, bởi ngược lại nếu x là một số chẵn thì $x^4+4=-y^3$ là lập phương của một số chẵn, nhưng $x^4+4$ không chia hết cho 8 với mọi số nguyên x ( vô lí ).

Vậy x là một số lẻ, suy ra y cũng là một số lẻ.

Đặt $d=\left(x^2-2x+2,x^2+2x+2\right)$

Ta có: $4x=\left[\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2-2x+2\right)\right]⋮d$

Mặt khác d là số lẻ ( vì $-y^3⋮d$ và y là số lẻ ), dẫn đến $\left(4,d\right)=1$ và do đó $x⋮d$

Suy ra $2⋮d$ nên $d=1$ ( vì d lẻ )

Tóm lại, hai số nguyên $x^2-2x+2$ và $x^2+2x+2$ là hai số nguyên tố cùng nhau, có tích là lập phương của một số nguyên nên mỗi số là lập phương của một số nguyên.

Đặt:

$x^2-2x+2=a^3,x^2+2x+2=b^3$ với $a,b\inℤ$

Suy ra $\left(x-1\right)^2=\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)$

$\left(x+1\right)^2=b^3-1=\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)$

Do đó: $a-1\ge0,b-1\ge0$

Gọi $d_1$ là ước chung lớn nhất của $a-1$ và $a^2+a=1$ thì $3a=\left[\left(a^2+a+1\right)-\left(a-1\right)^2\right]⋮d_1$

Mà $\left(a,d_1\right)=1$ ( vì $d_1$ là ước của $a-1$ ) nên $3⋮d_1$ )

Do đó: $d_1\in\left\{1;3\right\}$

Tương tự gọi $d_2$ là ước chung lớn nhất của $b-1$ và $b^2+b+1$ thì $d_2\in\left\{1;3\right\}$

Chú ý rằng nếu $d_1=d_2=3$ thì $\left(x-1\right)^2$ và $\left(x+1\right)^2$ đều chia hết cho 3

Suy ra $2=\left(x+1\right)-\left(x-1\right)$ chia hết cho 3 ( vô lí )

Vì vậy trong hai số $d_1,d_2$ phải có một số bằng 1

+ Nếu $d_1=1$ thì khi đó $a-1$ và $a^2+a+1$ là hai số nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương nên cả 2 số đó đồng thời là số chính phương.

Đặt $a^2+a+1=m^2$ thì

$4m^2=4\left(a^2+a=1\right)=\left(2a+1\right)^2+3$

Do đó $\left(2m-2a-1\right)\left(2m+2a+1\right)=3$

TH1: $2m-2a-1=1,2m+2a+1=3$ thì $a=0$ ( vô lí vì phương trình $x^2-2x+2$ không cs nghiệm nguyên )

TH2: $2m-2a-1=3,2m+2a+1=1$ thì $a=-1$ ( vô lí vì phương trình $x^2-2x+2=-1$ không cs nghiệm nguyên )

+ Nếu $d_2=1$ làm tương tự ta không tìm đc x,y thỏa mãn.

Vậy không tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn đề bài.

Câu trả lời: